$\dfrac{(a+b)!}{a!b!}$'in Bir doğal sayı olduğunun farklı ispatları

Question

$a,b\in\mathbb{N}$ olmak üzere

$\dfrac{(a+b)!}{a!b!}\in\mathbb{N}$ olduğunu ispatlayınız.

En bilinen ve klasik denilebilecek yöntem $\dfrac{(a+b)!}{a!b!}$ sayısının $a+b$ elemanlı kümenin $a$ (veya $b$) elemanlı altkümelerinin sayısı olduğunu göstermek ardından ardından altküme sayısı bir doğal sayı olmak zorunda olduğu için sayının doğal olduğunun kanıtlamak.

Peki bunun farklı ispatları varmıdır ? Benim aklıma ilk ifadeyi açmak geldi.

$\dfrac{(a+b)!}{a!b!}=\dfrac{(b+1)(b+2)\cdots(b+a-1)(b+a)}{a!}$

$a$ ardışık sayı $a$'ya bölünür ama sonrasında elimizde ardışık $a-1$ eleman kalmıyor olabilir. Bu noktada takıldım. Nasıl devam etmeyelim acaba ayrıca bunu ispatlamanın farklı yollarıda var mı ?

Comments

"$a$ ardışık sayı $a$'ya bölünūr"den sonra bir doğal sayı kalıyor elinde. Bu noktada kanıt bitmiş olmuyor mu? Kalanların ardışık olmasını niye istiyorsun ki? Bir

---

Asal kuvvetlerini kıyaslayabilirsin. Diğer bir yöntem olarak... $\nu_p((a+b)!) \ge \nu_p(a! ) +\nu_p(b! )$ eşitliğini bilinen asal kuvvet formülü ile kolayca görürüz. Formülün ispatı sitede var.

---

$a$ ardışık eleman $a$'yı böldükten sonra $a!$'i  $a$ ile sadeleştirip $(a-1)!$ yaptık şimdi $a-1$'in bölündüğünden tam olarak emin olmak için ardışık $a-1$ eleman gerekmiyormu ?

---

Hocam sitede asal kuvvet formülü arattım ama ilgili bir şey çıkmadı tam olarak hangi soruda ispat verilmiş biliyor musunuz ?

---

Anladım! Haklısın.

---

http://matkafasi.com/13305