$6\mid a+b+c$ ise $6\mid a^3+b^3+c^3$ olduğunu gösteriniz.

Question

$a,b,c\in\mathbb{N}$ olmak üzere 

$6/a+b+c$ ise $6/a^3+b^3+c^3$ olduğunu gösteriniz.

Aslında soruyu çözdüm ama çözümüm bana göre güzel değil bundan dolayı başka çözümler yapmaya çalıştım ama başaramadım başka ne gibi yollar bulunabilir ?

Benim Çözümüm:

$a+b+c=6k$'dır ve 

$a^3+b^3+c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3$

$=(a+b)((a+b)^2-3ab)+c^3\equiv (-c)((-c)^2-3ab)+c^3(mod 6)$

$\equiv -c^3+3abc+c^3(mod 6)\equiv 3abc(mod 6)$

Yani eğer ki $abc$ çarpımı 2 ile bölünüyorsa $a^3+b^3+c^3$ 6 ile bölünür.

Varsayalım ki $abc$ 2 ile bölünmesin o zaman 

$a=2x+1, b=2y+1, c=2z+1$ yazabiliriz.

$a+b+c=6k$ denkleminde bunları yerine yazarsak

$2(x+y+z)+3=6k$ olur ama bu denklemin sağlanamayacağı açık çünkü denklemin solu tek sağı çift.

Demekki $a,b,c$'den en az biri çift. Dolayısıyla $abc$'de çift. Böylece $6/a+b+c$ ise $6/a^3+b^3+c^3$ olur.

Comments

($a+b+c$, 6 ya bölündüğü zaman) $a^3+b^3+c^3$ in hem ikiye hem de üçe tam bölündüğünü göstermeyi deneyebilirsin. Çarpanlara ayırmaya gerek yok. $a$ ile $a^3$ e ve diğerlerine bak.

Answer 1

Fermat nın Teoreminden;

Her $a\in\mathbb{N}$ için $a^2\equiv a\mod2$ olur. $a^3\equiv a^2 \cdot a\equiv a\cdot a\equiv a\mod 2$ 

($b$ ve $c$ için de aynı şey geçerli)

ve $a^3\equiv a\mod 3$ olur ($b$ ve $c$ için de aynı şey geçerli)

Yukarıdaki işlemlerdem:

$a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\mod2$ ve $a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\mod3$ olur.

(Bu noktada hızlı çözüm: Çin Kalan teoreminden $a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\mod6$ olur)

uzun Çözüm:

$6\mid a+b+c$ olduğu için  $a+b+c\equiv0\mod2$ ve $a+b+c\equiv0\mod3$ olur.

 $a^3+b^3+c^3\equiv 0\mod2$ ve $a^3+b^3+c^3\equiv 0\mod3$ dolayısıyla $6\mid(a^3+b^3+c^3)$ olur.