Bir cisim içeren halka, yerel halkaların doğrudan çarpımı olarak yazılabilir.

Question

$k$ bir cisim (field) ve $R$ de bu cismi içeren bir halka (ring) olsun. Dahası $R$ halkası $k$ cismi üzerinde sonlu boyutlu olsun. 

Bu durumda gösteriniz ki $R$ yerel halkaların (local rings) bir doğrudan (direct) çarpımıdır.

---

Algebraic Curves, Fulton, Alıştırma 2.47.

Answer 1

Oncelikle $R$ halkasi sonlu boyutlu bir $k$-cebiri oldugu icin bir Artin cebiri. Dolayisiyla sonlu sayida maksimal ideali var ve bir $I$ ideali icin $R = k[x_1, \ldots, x_n]/I$ seklinde bir halkaya izomorfik.

Bu gozlemden sonrasi kitapta ilgili Onermeden geliyor:

Onerme 6: $k$ cebirsel kapali bir cisim ve $I \subset k[x_1, \ldots, x_n]$ icerisinde bir ideal olsun. $V(I) = \{ P_1, \ldots, P_m\}$ oldugunu, yani $I$'nin sifirlandigi sonlu sayida nokta oldugunu kabul edelim. $\mathcal{O}_i = \mathcal{O}_{P_i}(\mathbb{A}^n)$ olsun. Bu durumda $k[x_1, \ldots, x_n]/I$ ile $\prod_{i=1}^m \mathcal{O}_i / I \mathcal{O}_i$ arasinda dogal bir izomorfizma vardir.

Ek bilgi olmasi icin ve cevabin tam olmasi icin kitapta bu onermeden once yer alan bazi onermeleri de buraya yazalim:

Problem 2.44.: $V \subset \mathbb{A}^n$ bir varyete, $P \in V$ ve $I = I(V)$ olsun. Bu durumda, $$\mathcal{O}_P(\mathbb{A}^n)/I \mathcal{O}_P(\mathbb{A}^n) \cong \mathcal{O}_P(V)$$ olur.

Onerme 3: $\mathcal{O}_P(V)$ Noetherian bir yerel tamlik bolgesidir. 

Hepsini bir araya getirince soru tamamlandi.

Comments

Hocam teşekürler cevap için. Aynı şeyi ben de düşünmüştüm, lakin bu kitabı okumak için değişmeli cebir (commutative algebra) bilgisi gerekmediğini söylüyor yazar. Kitapta da 'Artin cebri' kelimesi geçmiyor, en azından o yere kadar. Demem o ki, bu ifadeyi kullanmadan, ama yazdığın geometrik sonuçları kullanarak sonua bir şekilde ulaşabiliyor olmamız lazım. Elbette Artin cebirlerinde yapılan ispatı bu özel durum için modifiye etmek mümkün ama kitabın diğer sorularını yani yazarın tarzını göz önüne alınca, buna gerek kalmayacak gibi geliyor.

---

Şu sayfaya göz atmakta fayda var: Bir cisim içeren halkanın yapısı hakkında

Answer 2

Kitabi karistirmadan once diger cevaptaki geometrik bilgiye sahip olmadigimizi dusunmustum. O yuzden soyle alternatif bir cevap gelistirmistim:

Diger cevapta gozlemledigimiz gibi $R$'nin sonlu sayida maksimal ideali var: $m_1, \ldots, m_n$ diyelim. $R_i = R_{m_i}$ yerel halkasi olsun. Yani $m_i$ disinda kalan her elemanin tersini ekliyoruz. Elimizde $$ r \mapsto (\frac{r}{1}, \ldots, \frac{r}{1})$$ seklinde tanimlanan bir $R \to \prod R_i$ fonksiyonu var. Amacimiz bunun izomorfizma oldugunu gostermek.

-Neden birebir? 

Bu fonksiyon altinda bir $r$ elemaninin sifira gitmesi demek, $r$'nin hicbir maksimal idealde yer almayan bir $x$ elemani altindan sifirlaniyor olmasi demek: $xr = 0$. Ama eger $x$, hicbir maksimal idealde yer almiyorsa birim eleman olmali. Yani tersi var: $r = 0$. Demek ki cekirdek sifirmis.

-Neden orten?

Bunu daha cikaramadim, cikarinca duzenleyecegim bu cevabi.