Duzenli olmayan yerel halka ornegi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
244 kez görüntülendi

Duzenli yerel halka nedir ve bir tane duzenli olmayan yerel halka ornegi veriniz.

13, Haziran, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (22,566 puan) tarafından  soruldu

düzenli ne demek?

Regular, Regular Local Ring.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
$R$ degismeli ve noetherian bir yerel halka olsun. $\mathfrak{m}$ de $R$'nin maksimal ideali olsun. $k = R / \mathfrak{m}$ diyelim.

$R$'nin Krull boyutu (Krullboy($R$)), $R$'nin icerisinde bulabilecegin en uzun asal ideal zincirinin uzunlugu olarak tanimlaniyor.*

$R$'nin gomme boyutu (gomboy($R$)), $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ $k$-vektoruzayinin $k$-boyutu (vektor uzayi olarak boyutu) olarak tanimlaniyor.**

Elimizde her zaman Krullboy($R$)$\leq$gomboy($R$) esitsizligi var. Bu esitsizlikte esitlik oldugu zaman, $R$'ye duzenli yerel halka diyoruz.

--

Duzenli olmayan yerel halka denince akla gelen ilk ornek $k$ bir cisim olmak uzere $k[x]/(x^2)$ halkasi saniyorum. Yalniz, ben bunun duzenli olmamasini yukaridaki tanima bakarak goremiyorum su an, yalan yok. O yuzden, isi uzatip benim anladigim esdeger bir tanim verecegim. (Ekleme: Yorumlarda ilk once bocalasam da, neden yukaridaki tanimin ise yaradigina dair birkac sey soyledim.)

--

$R$ bir halka olsun. $A$ da bir $R$-modul olsun.

$A$'nin izdusumsel boyutu, izboy$(A)$, $$0 \to P_n \to \ldots \to P_1 \to P_0 \to A \to 0$$ seklinde en kucuk izdusumsel cozunum ***'un boyu. Mesela, yukaridaki cozunum minimal bir cozunum ise, izboy($A$) = $n$ diyoruz. Bu boyut elimizdeki modulun izdusumsel modul olmaktan ne kadar uzak oldugunu olcuyor.

$R$'nin global boyutu, globoy($R$) ise soyle tanimlaniyor: $$\text{globoy}(R) = \sup \{ \text{izboy}(A) : A \text{ bir } R-\text{modul}\}$$

Simdi halkamizin en ustteki gibi oldugunu dusunelim. Degismeli, noetherian, yerel. O zaman

Teorem: $R$ duzenli yerel halkadir ancak ve ancak globoy($R$) sonlu ise.

Ben, genelde bu teorem dolayisiyla duzenli yerel halka diyince sonlu global boyutlu yerel halka dusunuyorum.

--

Simdi, $R = k[x]/(x^2)$ halkasinin global boyutunun sonsuz oldugunu gosterelim. Oncelikle, $k$ cismi dogal olarak bir $R$-modul ($k = R/(\overline{x})$). Ama, $k$'nin $R$-modul olarak izdusumsel boyutu sonsuz. $$\ldots \to k[x]/(x^2) \to k[x]/(x^2) \to k[x]/(x^2) \to k \to 0$$ cozunumu (oklar ile gosterilen fonksiyonlar $x$ ile carpma, yani $x$'i $0$'a, $1$'i $x$'e goturuyorlar.) $k$ icin minimal bir cozunum. Modul kategorimizde izdusumsel boyutu sonsuz olan bir modul buldugumuz icin, halkamizin global boyutu sonsuz. Teoremimiz de bu halkanin duzenli bir yerel halka olmadigini soyluyor.

--


*Eger elimizde $p_0 \subsetneq p_1 \subsetneq \ldots \subsetneq p_d$ seklinde asal idealler varsa, bu uzunlugu $d$ olan bir asal ideal zinciri var demek. $R$ noetherian oldugu icin, her zincir bir sure sonra duracak. Yani, her zincirin uzunlugu sonlu olacak. Ama bu Krull boyutunun sonlu olmasini gerektirmiyor. Ama halkamizi en bastaki gibi (yerel) secersek o zaman Krull boyutumuz her zaman sonlu.

**http://matkafasi.com/11018/reguler-yerel-halka-ve-teget-uzayi

***projective resolution. Ama tmdsozluk'te buna karsilik gelen bir sey bulamadim.
29, Haziran, 2015 Ozgur (1,988 puan) tarafından  cevaplandı
29, Haziran, 2015 Ozgur tarafından düzenlendi
$k[x]/(x^2)$ halkası köşegen bileşenleri Eşit olan $2\times2$ tipinde üst üçgensel matris halkasına izomorftur. Buradan da görmek mümkün Özgür bey. 

Handan Hanim, benim takildigim bir nokta var burada. $R = k[x]/(x^2)$ diyelim.

$R$'nin bir tane maksimal ideali var, o da $(\overline{x})$. Ya da sizin verdiginiz izomorfizma altinda kosegen bilesenleri sifir olan matrislerin olusturdugu ideal. Bu maksimal ideale $\mathfrak{m}$ diyelim. Bu idealin $k$-boyutu 1. $\mathfrak{m}^2$ de sifir ideali. O halde, $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = \mathfrak{m}$ vektor uzayi 1-boyutlu.

Peki Krull boyutu ne bu halkanin? 1 degil mi? Bu durumda esitlik var?

Karşı örnek olarak gözükmüyor zaten. Bir tuhaflık var! 
$k$ cisim değilse örnek doğru gibi. $k$ yı tamsayılar halkası aldığımızda Karşı örnek olur. 

Yok, ornegimin dogrulugundan eminim. Cunku duzenli yerel halkalar, tamlik bolgesi olmak zorundalar ve $k[x]/(x^2)$ tamlik bolgesi degil.

Hatami buldum, simdi duzeltecegim. 

Benim verdigim Krull boyutu taniminda uzunlugu $d$ olan bir zinciri $p_1 \subset p_2 \subset \ldots \subset p_d$ olarak gostermistim. Ama dogru tanimda uzunlugu $d$ olan bir zincir, $p_0 \subset p_1 \subset \ldots \subset p_d$ olarak veriliyor.

Dolayisiyla, $k[x]/(x^2)$'nin Krull boyu 1 degil, 0.

Özgür; $k[x]/(x^2)$ tamlık bölgesi değil mi?

$x^2 = 0$ ama $x \neq 0$. Tamlik bolgesi degil. Ya da isterseniz, verdiginiz matris halkasinda ozdegerlerinin ikisi de sifir olan matrisler nilpotent.

Evet Haklısın. 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
$R$ bir halka olmak üzere $\forall x\in R$ için $x=xyx$ olacak şekilde bir $y\in R$ varsa halkaya düzenli(von Neumann regular) denir. Birimli Boolean halkaları, bölmeli halkalar(division rings) örnek olarak verilebilir.

$\Bbb{Z}_{4}$ halkasında $\bar{2}\in \Bbb{Z}_{4}$, $\bar{2}=\bar{2}\bar{a}\bar{2}$ olacak şekilde $\bar{a}\in \Bbb{Z}_{4}$ olmadığından halka düzenli değildir. Ayrıca $\Bbb{Z}_{4}$ lokal(yerel) halkadır. Her elemanı ya tersinirdir yada $J(\Bbb{Z}_{4})$ e aittir. Yani; Jacobson radikaline.
28, Haziran, 2015 Handan (1,482 puan) tarafından  cevaplandı
...