Asal sayılar ve modüler aritmetik.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
493 kez görüntülendi

$a_{1}=5$ ve $n\geq 1$ için $\alpha _{n+1}=a_{n}^{3}-2a_{n}^{2}+2$ olsun. p = 3 (mod 4) koşulunu sağlayan bir asal sayısı $a_{2011}+1$ sayısını bölüyorsa, p = 3 olduğunu kanıtlayınız.

15, Şubat, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Olimpiyat UMO (195 puan) tarafından  soruldu

Soruda amacımız bir tek 3 için denklemin sağladığını ispatlamak ama deneme yanılma yoluyla yapamayız çünkü sonsuz tane asal sayı var. Ben p>3 ve p=3 durumlarını incelemeyi denedim ama yapamadım siz yapıp çözümünü atarsanız sevinirim

Sanıyorum$\alpha_{n+1}=a_{n+1}$ olacak.

Evet a lar aynı Latex yüzünden,

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Ozellik: $n \geq 1$ icin $a_n \equiv 2 \mod 3$ olur.

Ispat: (Tumevarim) $a_1=5 \equiv 2\mod 3$ dogru. $a_n \equiv 2 \mod 3$  olursa $a_{n+1}\equiv (2^3-2\cdot2^2+2) \equiv 2 \mod 3$ olur.

Sorunun cozumu: Yukaridaki ozellikten dolayi $a_{2011}+1$ sayisi $3$ sayisina tam bolunur. Bu tarz bir tane asal boleni oldugu bize verilmis. Bu nedenle (eger verilen dogru ise) bu asal sayi $3$ olmali.

15, Şubat, 2016 Sercan (23,805 puan) tarafından  cevaplandı
15, Şubat, 2016 Olimpiyat UMO tarafından seçilmiş

Teşekkürler hocam.

...