Modüler aritmetik sorusu

Question

$7^{80}\equiv x\left( mod17\right)$

ise x'in alabileceği en büyük negatif tam sayı değeri kaçtır?

Cevap -16

Benim denediğim yöntemler

$7^{16} \equiv$ 1 (mod 17)

Comments

Yaptığın işlemin biraz uzun ve açılmış hali:

$7^2.7^2. \dots .7^2 \{\text{40 adet}$

$7^2 \equiv 15 (\text{ mod 17})$

$15^{40} \equiv x (\text{ mod 17})$

$15^{40} = 3^{40}.5^{40}$

$3^4.3^4.3^4 \dots 3^4.5^4.5^4\dots5^4=15^{40}\text{  -->10 adet $3^4$ ve $5^4$}$

$3^4 \equiv 13 (\text{ mod 17})$       $5^4 \equiv 13 (\text{ mod 17})$

$13^{20} \equiv x (\text{ mod 17} )$

$13^2 . 13^2 \dots 13^2 = 13^{20} \text{ \{ 10 adet $13^2$}$

$13^2 \equiv 16 \text{ ( mod 17)}$

$2^{40} \equiv x \text{ ( mod 17)}$

$2^{40} = 2^{10}.2^{10}.2^{10}.2^{10}$

$2^{10} \equiv 4 \text{ ( mod 17 )}$

$2^8 \equiv 1 \text{ (mod 17 )}$

$x = 1$

Yani yaptığın doğru bildiğim üzere.

Mod bir küme belirtir ve durumun kümedeki hangi eleman ile uyuşursa onu döndüren bir fonksionumsu şeydir(En berbat tanım) .Şöyle  $a$ sayısının $b$'ye  bölümünden kalan $r$ olsun.

$r$'nin alabileceği değerler sınırlıdır.

örneğin   $b = 5$ için $\text{r ancak \{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\} değerlerini alabilir }$

Ve $r = 1$ ve $-4$ aynı şeyi ifade eder.

$r = 0$ için $a \in \{\dots,-10,-5,0,5,10,\dots\}$

$r = 1 \text{ veya } r = -4$ için $a \in \{\dots,-9,-4,0,1,5,\dots\}$

$r = 2 \text{ veya } r = -3$ için $a \in \{\dots,-8,-3,0,2,7,\dots\}$

$r = 3 \text{ veya } r = -2$ için $a \in \{\dots,-7,-2,0,3,8,\dots\}$

$r = 4 \text{ veya } r = -1$ için $a \in \{\dots,-6,-1,0,4,9\dots\}$

Kısacası $7^{80} \equiv 1 \text{ ( mod 17) }$ ile $7^{80} \equiv -16 \text{ ( mod 17) }$ aynı şeydir.

Umarım doğru bir şekilde açıklayabilmişimdir.

---

$7^{80}=(7^{16})^5$ olarak da yazilabilir.

Answer 1

$7^{80}=(7^{16})^5$ olarak da yazilabilir. Dolayisiyla $$7^{80}=(7^{16})^5\equiv 1^5=1 \equiv -16 \mod 17$$ saglanir.