Metabelian grubun grup homomorfizması altında korunduğunu gösterin.

Question

$G$ metabelian bir grup ve $f:G\rightarrow H$ grup homomorfizması olsun. Bu durumda $f(G)$ metabelian gruptur.

Answer 1

$a=f(x),b=f(y),c=f(z), d=f(t) \in f(G)$ olsun. Bu durumda $$[[a,b],[c,d]]=[[f(x),f(y)],[f(z),f(t)]]=f([x,y],[z,t]])=f(e_G)=e_H$$ olur.

Bu sorudaki onermeyi kullanabiliriz artik.

Aslinda direkt $f(G)'' \subset f(G'')$ oldugunu da kullanabilirdik. Yukarida bi nevi bunun da ispati var.

Comments

Sondan üçüncü eşitlikte $[$ açılmalı. $f([[x,y],[z,t]])=...$. Teşekkürler.