$\sqrt 2$ ve $2$ sayilarini birin $16.$ ilkel kokleriyle yazma

Question

Herhangi bir $n>0$ tamsayisi icin  $$\sqrt{2^n}=\sum\limits_{k=0}^3 a_{2k+1}e^{(2k+1)i\pi/8}$$  olacak sekilde $a_i$ tam sayilari var midir?




Eski hali: $\sqrt2=\sum\limits_{k=0}^3 a_{2k+1}e^{(2k+1)i\pi/8}$ ve $2=\sum\limits_{k=0}^3 b_{2k+1}e^{(2k+1)i\pi/8}$ olacak sekilde $a_i, b_i$ tam sayilari var midir?

Comments

Soru 8. iken içeri girince 16. olmuş :)

---

$16(i\pi/8)=2i\pi$. Arada $8$'leri sacmisim her yere. :)

---

Soruyu tekrar duzenledim.

---

sag tarafta k yerine baska bir indis kullanilsa daha iyi olur sanki.. veya sol taraftaki us k den farkli bir indis ile gosterilebilir..

---

Haklisin. Hemen duzeltiyorum. 

Bu arada ek bilgi: ben bunu ispatladim ve cok alakasiz bir yerde kullanmayi planliyorum. Yani onca ugrastim ve problemi su soruyla denkestirdim ve sonuc elde ettim ya, insan hem seviniyor, hem de adama koyuyor. Neyse mutluyum. 

Bu arada hic bir $n$  icin boyle bir toplama $\mathbb Q$ uzerinde bile yok.

Farkli ispatlara ve daha da emin olmaya acigim.

Answer 1

Eger $\mathbb Q$ uzerinde $x^8+1$ polinomunun genisleme cismini dusunursek ($\alpha =e^{i\pi/8}$ olmak uzere) $1,\alpha,\cdots,\alpha^7$ bu cismin $\mathbb Q$ uzerinde bazi olur.

Bu da her $k>0$ icin $2^k$ sayisini $\alpha, \alpha^3, \alpha^5, \alpha^7$ kat sayilari $\mathbb Q$ sarti ile olsa bile yazamayacagimiz anlamina gelir. 

Durumu $\mathbb Q$'ya genislettigimiz icin aslinda $1$ ve $\sqrt 2$'yi incelesek yeter. 

Bunun icin de lineer bagimsizligi ve de ayrica $\sqrt 2=\alpha^2-\alpha^6$ oldugunu kullanmamiz yeterli.

Ek olarak: $x^8+1$ polinomunun indirgenemez oldugunu sikletomik polinomlarin indirgenemez oldugu ile direk soyleyebiliriz, $x^8+1$ de $16.$ siklotomik polinomdur.