Verilen her $a_0,a_1>0$ icin $a_{n+2}=\frac1{a_{n+1}}+\frac1{a_n}$ dizisinin $\sqrt 2$ sayisina yakinsadigini gosteriniz.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
56 kez görüntülendi

Verilen her $a_0,a_1>0$ icin $$a_{n+2}=\frac1{a_{n+1}}+\frac1{a_n}$$ dizisinin $\sqrt 2$ sayisina yakinsadigini gosteriniz.

23, Ekim, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,213 puan) tarafından  soruldu
23, Ekim, 2015 Sercan tarafından düzenlendi
Eşitlikteki $a_n+1$ mi? $a_{n+1}$ mi?

dedigin gibi hocam, ikincisi, duzeltiyorum simdi, tesekkurler.

Teşekkürler.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=a$ ise , $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+2}=a$ olduğundan,

$a=\frac 1a+\frac 1a\rightarrow a^2=2\longrightarrow |a|=\sqrt2$ dir. dizinin terimleri pozitif olduğundan İstenen limit değeri $\sqrt2$ olur.


23, Ekim, 2015 Mehmet Toktaş (18,358 puan) tarafından  cevaplandı

dizinin limiti var ise cevap bu sekilde fakat limiti olabilecegini gostermemiz lazim.

Evet. Ben de limiti $ a$ ise diyerek (yani olmayabilir) çözdüm. Ama limitinin var olduğunun ispatını da sizde bekliyoruz.

ekleyen olmazsa ben eklerim hocam, hafta sonu  ekleyen olmazsa ben eklerim pazartesi.

Bekliyoruz hocam.

Monoton yakınsaklık teoremini kullanacağız. Hafta sonu fırsat bulabilirsem yazarım.

Monoton azalip ya da arttigindan emin degilim, denemedim. Fakat yakinsiyor. 

Monoton yakınsaklık teoremini kullanamıyoruz.

Fakat kendisi sınırlı (yani sınırlı olduğu gösterilebilir), bu nedenle lim sup ve lim inf kullanılabiliyor.

hocam ilk satır tamam sonsuza gittigi için 1.si a ise hepsi adır 2. satırda birden 

$\dfrac{1}{a}$+ $\dfrac{1}{a}$=$a$ yaptık bunu nasıl yaptık 

ve yaptıysak ozaman $\sqrt3$ de   $\dfrac{1}{a}$+$\dfrac{1}{a}$+ $\dfrac{1}{a}$=$a$ buradan olur:D

de mi hocam?

Limit degerinin var oldugu ve $a$'ya esit oldugu kabulu ile. Bu durumda $a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$ limitleri $a$'ya esit olur.

anladım teşekkürler.

"ekleyen olmazsa ben eklerim hocam, hafta sonu  ekleyen olmazsa ben eklerim pazartesi" :-)

...