Gradyan nasıl bir operatordür?

Question

$ \nabla \ $ nereden nereye giden bir operatordur? Kaplan'ın kitabında "a vector differential operator" diyor, o zaman tanım kümesi, türevlenebilen bütün fonksiyonlar kümesi, değer kümesi de girdileri integrallenebilir fonksiyonlar olan sütun matrisler uzayı mıdır? Böyle bir uzay var mıdır, ben mi uyduruyorum?

Answer 1

$n-$değişkenli hâli ele alalım: $x_1, x_2, \dots, x_n$. Bütün değişkenlere göre bir defâ türevlenebilen fonksiyonlardan, $n-$ boyutlu vektör uzayına lineer bir tasvîrdir. Yâni, keyfî $x_i$ koordinatı için $f$ foksiyonunun $f_{x_i}$ türevi vârolacak, o kadar!

Farklı bir şekilde söylersek, $x=x(x_1, x_2, \dots, x_n)$ vektör argümanlı, skaler $f$ fonksiyonundan, bileşenleri $\partial f/\partial x_i$ olan $n-$ boyutlu vektör uzayına bir lineer tasvîrdir.

Comments

Bu durumda operatörün varış kümesinin, girdileri intergrallenebilen fonksiyonlar olan $ n-$ boyutlu vektör uzayı olması gerekiyor galiba.