Türev operatoru nasıl bir operatordür?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
527 kez görüntülendi

Operator denince aklıma değer kümesinde fonksiyonlar olan fonksiyonlar geliyor. Türev operatorünün de D ile gösterildiğini zannediyorum. Ancak $f$, reel sayılardan reel sayılara giden bir fonksiyonken $\ f’ (x)$  ifadesinden de bir operator diye bahsedilmesini bir türlü anlamıyorum. $\ f’ (x)$ , $f$ fonksiyonunun $x$ noktasındaki teğetinin eğimi. Yani elimde bir reel sayı var  Bir sayı nasıl olur da bir operator olur? Hem de utanmadan lineer!

24, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Serpenche (74 puan) tarafından  soruldu

Kim bahsediyor? Kaynak var mi? 

Baby Rudin sf. 212

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$I,\ \mathbb{R}$ de bir (açık olursa işimiz birazcık daha kolay olur) aralık ve $\mathfrak{T}=\{f|\, f:I\to\mathbb{R},\ I \text{ nın her noktasında türevlenebilen fonksiyon}\}$ (aralık açık değil ise iç noktalarda türevlenebilme, uçlarda tek taraflı türevlenebilme koşulu isteriz) ve $\mathfrak{F}=\{f|\, f:I\to\mathbb{R},\ \text{ fonksiyon}\}$ olsun . Her ikisinin de ($\mathbb{R}$ üzerinde)(sonsuz boyutlu)  vektör uzayı (daha da fazlası $\mathbb{R}$ üzerine cebir) olduğu kolaydır. $D:\mathfrak{T}\to\mathfrak{F},\quad D(f)=f'$ (türev alma kurallarından) lineer bir dönüşümdür (hem de, çarpım kuralından, derivasyondur) , dolayısıyla (her ne kadar kendi içine gitmiyorsa da) operatör adını hakediyor.

24, Şubat, 2015 DoganDonmez (3,158 puan) tarafından  cevaplandı
24, Şubat, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Aslında $f'(a)=c$ ise $f'(a):\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f'(a)(x)=cx$ lineer operatörü olarak düşünülebilir. $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ şeklindeki "fonksiyonlar" için "türevi" böyle tanımlamak gerekiyor. (belki de soru buydu)

Yukarıdaki cevapta, aralık koşulu da biraz hafifletilebilir ama aralık demek daha kolay oluyor.

Evet, soru o. Neden böyle tanımlamak gerekiyor? Alışılmışın dışında bambaşka bir şeye dönüşüyor türev o zaman.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Burada operator olan $f'(x)$ değil. Bu elbette $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin x noktasındaki teğetinin eğimidir.

Türev operatorüne $D$ derseniz, örneğin $D(f)=f'$ yazabilirsiniz. Burada $D$, $f$ fonksiyonunu $f'$ fonksiyonuna gönderen bir fonksiyondur. Daha çok mapping denir ama galiba buna ingilizcede.

Lineer olması da şu demek:

$D(f+g)=D(f)+D(g)$

$D(af)=aD(f)$

özellikleri sağlanır. Burada $a$ dediğimiz fonksiyon uzayını oluşturan cismin sabit bir elemanı.

24, Şubat, 2015 kerem.altun (118 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Orada (Rudin sayfa 212) kastedilen türev operatörü, benim cevabımdaki değil, soruya yorumumdaki anlamda.

$f:X\to Y$ iki Banach uzayı ( Rudin in o  kitabında $X=\mathbb{R}^n,\ Y=\mathbb{R}^m$) arasında bir fonksiyon ve $x_0\in X$ ve bir $T:X\to Y$ lineer  dönüşümü için:

$$\lim_{h\to0}\frac{\Vert f(x_0+h)-f(x_0)-T(h)\Vert}{\Vert h\Vert}=0$$ ise $f'(x_0)=T$ olarak tanımlanır.

 Dolayısıyla her noktadaki türev bir lineer dönüşümdür. (S. Lang: Real and Functional Analysis sayfa 333 de bu şekli var.)

24, Şubat, 2015 DoganDonmez (3,158 puan) tarafından  cevaplandı
24, Şubat, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi
...