Kutudaki parçacığa ne oldu?

Question

$[0,1]$ alanını kaplayan (tek boyutlu) bir kutuya $m>0$ kütleli bir parçacık yerleştirelim. O zaman parçacığın durumları için seçebileceğimiz en genel Hilbert uzayı $\mathcal{H}:=L^{2}(0,1)$'dir.
('kutu' kelimesini parçacığın dışarı çıkmayacağını -kuantum mekaniksel olarak dışarıda bulunma olasılığının (=yer temsilinde dalga boyunun karesi) sıfır olduğunu belirtmek için kullanıyoruz.  Buna daha önceden  0 ve 1 yerlerinde sonsuz yükseklikte 'duvarları' olan tek boyutlu bir kare potensiyalin varlığının yol açmış olduğu da söylenebilir.)
Parçacığın etkileşeceği hiçbir şey olmasın, yani Hamiltonyeni $H:=-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}}{dx^{2}}$. Ama birde $H$'nin işlemci olabilmesi için bölgesinin seçilmesi lazım.

Soru 1: Neden $\text{böl}(H)$'yi bütün $\mathcal{H}$ olarak seçmiyoruz İpucu: Parçacığın enerjisinin bir gözlenebilir (bkz. ilgili yanıt) olması için ne gerekiyor?

Soru 2: $\text{böl}(H)$'yi hangi küme olarak seçebiliriz? İpucu (dikkat ip epeyce uzun!): bizim $\mathcal{H}$'deki durumları hangi göndermelerle yaklaştırabiliriz ve "Pozitif özeşlenik uzantı nasıl bulunur?" sorusu ne güne duruyor?

Soru 3: Parçacığın sahip olabileceği enerjilerin (bunlar neler?) alttan bir $a>0$ ile sınırlı olduğunu gösterebilirmisiniz-yani $\forall\ 0\neq\psi\in\text{böl}(H): \langle\psi,H\psi\rangle\geq a\langle\psi,\psi\rangle$? Bu $a$'nın değeri nedir ve parçacığın taban enerjisine eşit midir?

Tanım: Bir $A$ gözlenebilirinin beklenen değeri $B_\psi(A):=\langle \psi,A \psi\rangle\in\mathbb{R}$ olarak tanımlanır.

Soru 4: Parçacığın başlangıçtaki konumu $x_0\in(0,1)$ olsun. Belli bir zaman sonra hangi yerde olması beklenir? Bu fırsattan yararlanıp yer işlemcisinin bölgesinin nasıl tanımlandığını da sorayım.

Soru 5: Sistemi üç boyuta uyarladığımız takdirde aynı soruları cevaplandırabilirmisiniz?

Soru 6: Üç boyutlu kutu için periyodik sınır şartları kabul ettimizde (bir kutunun bittiği yerde hep başka bir aynı boyuttaki kutu başlıyor) ne değişir?

Soru 7: Yukardaki hallerde kutu(lara) birden fazla birbiriyle etkileşmeyen parçacık konulduğu vakit ne değişir?

Soru 8: Aynı soruları ikinci kuantumlama çerçevesinde yanıtlayabilirmisiniz? 

Ek ek soru: İlk durum için gözlenebilir bir devinirlik işlemcisinin $p:=-i\frac{d}{dx}$ bölgesini yazabilirmisiniz? Ya da bunun için şunu kullanabilirmiyiz?