Göreceliliksel k.e.d. parçacık-alan Hamiltonyeninin özeşlenikliğini gösterebilmek-2

2 beğenilme 0 beğenilmeme
54 kez görüntülendi

Başı:Göreceliliksel k.e.d. parçacık-alan Hamiltonyeninin özeşlenikliğini gösterebilmek

Sav: $f\in L^2(\mathbb{R}^3)$ , $f_j:=\langle f e_j^{(1)},f e_j^{(2)}\rangle\in\mathcal{H_{ph}}$, $\vec{k}\in M_0$ ve $j,l=1,2,3$ için $\sum_{r=1}^2 e_j^{(j)}(\vec{k})e_l^{(j)}(\vec{k})$'i incelersek $\Vert f_j\Vert^2=\int_{\mathbb{R}^3}\vert f(\vec{k})\vert^2 \left( 1-\frac{k_j^2}{\vert\vec{k}\vert^2}\right)d\vec{k}$. Buna göre doğal olarak tanımlanan $\vert\vert\vert f\vert\vert\vert:=\displaystyle\sum_{j=1}^3\vert\vert f_j\vert\vert$ bir normdur.

Sav: Koşul 1'in sağlandığını kabul edelim. O zaman $\text{böl}(H_{ış}^{1/2})\subset\text{böl}(H_{etk,\tau}(g))$ ve $\forall\psi\in \text{böl}(H_{ış}^{1/2})$ ve $\epsilon>0$ için $\vert\vert H_{etk,\tau}(g)\psi\vert\vert\leq\sqrt{2(1+\epsilon)}\vert q\vert\ \vert\vert\vert\frac{g}{\sqrt{\omega}}\vert\vert\vert \Vert H_{ış}^{1/2}\psi\Vert+\frac{\vert q\vert}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac{1}{\epsilon}} \vert\vert\vert g\vert\vert\vert \ \Vert\psi\Vert$'dir.

İpucu 1: $\forall F\in \mathcal{H}_{ft}$ ve $\psi\in\text{böl}(H_{ış}^{1/2})$ için $\psi\in\text{böl}(a(F))\cap \text{böl}(a(F)^{*})$ ve $\Vert a(F)\psi\Vert\leq\Vert\frac{F}{\sqrt{\omega}}\Vert\ \Vert H_{\text{ış}}^{1/2}\psi\Vert$ ve $\Vert a(F)^*\psi\Vert\leq\Vert\frac{F}{\sqrt{\omega}}\Vert\ \Vert H_{\text{ış}}^{1/2}\psi\Vert+\Vert F\Vert \Vert\psi\Vert$
İpucu 2: $a,b\geq0,\epsilon>0$ için $(a+b)^2\leq(1+\epsilon)a^2+\left(1+\frac{1}{\epsilon}\right)b^2$.

Ek alıştırma: İpuçlarını gösterin.

Sav(simetri): $\tau\in\mathbb{R}$, koşul 1 ve 2 geçerli olsun.  O zaman $H_{\tau}(V,g)$ $\text{böl}(H_{\tau}(V,g)):=\text{böl}(H_D)\cap\text{böl}(V)\cap\text{böl}(H_{ış})$ ile simetrik bir işlemcidir.

Soru: Bunu  gösterebilirmisiniz?

Tanım: Bir Hilbert uzayındaki ters doğrusal, norm koruyucu ve $C^2=1\!\!1$ olan $C$ göndermesine eşlenti (ing. conjugation) denir.

Sav 1.1: $C$ $\mathcal{H}$ üzerinde bir eşlenti ve $S$ de aynı Hilbert uzayında $CS\subset CS$'yi sağlayan doğrusal bir işlemci olsun. O zaman $CS=SC$'dir.

Sav: Eğer $P$  $\mathcal{H}_D$ üzerinde eşlik dönüşümüyse -yani $f\in\mathcal{H}_D$- için $(Pf)(\vec{x}):=f(-\vec{x})$, $\mathcal{H}_D$ üzerinde $T_D:=PU_C C_D$  ters üniter bir işlemci tanımlar ve bu bir eşlentidir.

Sav 1.2: $T_D\vec{\alpha}\cdot(-i\vec{\triangledown})=\vec{\alpha}\cdot(-i\vec{\triangledown})T_D$.

Sav 1.3: $C_{ft}$ $\mathcal{H}_{ft}$ üzerindeki karmaşık eşlenti $C_{ft}(F_1,F_2):=(\bar{F_1},\bar{F_2})\in\mathcal{H}_{ft},\ F_r\in L^2(\mathbb{R}^3),\ r=1,2$ ve $j_{\mathbb{C}}$ de $\mathbb{C}$ üzerindeki eşlenti olsun. O zaman $J_{ış}:=j_{\mathbb{C}}\oplus(\bigoplus_{n=1}^\infty \bigotimes^n C_{ft})$ $\mathcal{F}_{ış}$ üzerindeki bir eşleniktir.

Sav 1.4: $J_{ış}H_{ış}=H_{ış}J_{ış}$ ve $\forall F\in\mathcal{H}_{ft}:\ J_{ış}\Psi_S(C_{ft}F)=\Psi_S(F)J_{ış}$.

İpucu: İlk eşitlik için $\omega\in\mathbb{R}$. İkincisi için eşitliği önce sonlu parçacık vektörleri altuzayı $\mathcal{F}_{ış,0}:=\{\psi=\{\psi^{(n)}\}_{n=0}^\infty \in\mathcal{F}_{ış}\vert \text{sonlu sayılılar dışındaki bütün n'ler için }\psi^{(n)}=0\}$'da gösterin, bunu sınır alan $\psi_S(F)$'e çevirin ve sav 1.1'i uygulayın.

Sonunda teoremimizi kanıtlayacak kadar bilgi toplayabildik:

Teorem: $\tau\in\mathbb{R}$, $g$ gerçel değerli olduğu, 1. ve 2. koşullar sağlandığı takdirde modelin Hamiltonyen işlemcisi $H_{\tau}(V,g)$'nin bir özeşlenik uzantısı vardır. İpucu: $\mathcal{F}$ üzerinde $J:=T_D\otimes J_{ış}$'ye bakın. von Neumann teoremi ve ondan sonra çok önemli başka bir teoremi kullanın.

19, Ağustos, 2015 Akademik Fizik kategorisinde fiziksever (1,165 puan) tarafından  soruldu
27, Kasım, 2016 Anil tarafından yeniden kategorilendirildi
...