Thomas Fermi teorisi

Question

('tanımlar ne' ve ' Schrödinger tamam da buna ne lüzum var?'ın yanıtları Atom ve moleküllerin Schrödinger teorisi (kuantum mekaniği)'nde olacak (umarım))

Schrödinger kendi denklemini bulduktan (E. Schrödinger, 'Özdeğer problemi olarak nicemleme', Annalen der Physik, Bd. 79, (1926), S. 361, 489, 734, Bd. 81, (1926)S. 109.) hemen sonra L. H. Thomas ("Atomik alanların hesaplanması", Proc. Cambridge Philos. Soc. 23(1927), 542-548 doi:10.1017/S0305004100011683) ve E. Fermi ("Atomların bazı özelliklerinin belirlenmesi için bir istatiksel yöntem", Atti Acad. Naz. Lincei, Rend. 6 (1927), 602-607) birbirinden bağımsız olarak; o zamanlar  doğanın fiziksel yapısını tamamen doğru yansıttığına inandıkları kuantum mekaniğine $\epsilon^{km}_{N,\underline{Z}}(\psi):\mathcal{H}_{H_{N,\underline{Z}}}\rightarrow \sigma_{H_{N,\underline{Z}}},\psi\mapsto\langle \psi,H_{N,\underline{Z}}\psi\rangle$.  yaklaşan bir model bulmuşlardır . Ama ona geçmeden önce bir
Not: Bir $\psi$ durumu için $(\mathcal{H}_{H_{N,\underline{Z}}},H_{N,\underline{Z}})$ enerji değeri $E:=\epsilon^{km}_{N,\underline{Z}}(\psi)$'dir ($\epsilon^{km}_{N,\underline{Z}}$'nin $\psi$'yi gönderdiği sayı). Aslında fonksiyonel olarak daha sonra W. Lenz tarafından yazılmıştır.
ve
Tanım: $x_i\in \mathbb{R}^{3}$ yer ve  $\kappa_i\in \mathcal{K}$(= spin değerleri kümesi) spinleri için parçacık/yük yoğunluğu $Y:\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{U} ,\psi(x,\kappa)\mapsto \rho(x,\kappa):=$ $\displaystyle\sum_{\kappa_1,...,\kappa_N\in \mathcal{K}}\int_{\mathbb{R}^{N-1}}|\psi(|x,\kappa_1,x_2,\kappa_2,...,x_N,\kappa_N)|^{2}dx_2...dx_N+$
$......+\displaystyle\sum_{\kappa_1,...,\kappa_N=1}\int_{\mathbb{R}^{N-1}}|\psi(|x,\kappa_1,x_2,\kappa_2,...,x_{N-1},\kappa_{N-1},x,\kappa_N)|^{2}dx_1...dx_{N-1}$ olarak tanımlanır (Böylece örn. bir elektronun durumu $\psi$'den yük yoğunluğu $\rho:=Y\psi$'yu hesaplayabiliriz.).

Soru 1: $\mathcal{U}$ burada uygun bir küme olmalı. Acaba en genel olarak ne olabilir?

Tanım: $D(\rho,\tilde{\rho}):=\frac{e^2}{8\pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{R}^{3}}dx\int_{\mathbb{R}^{3}}dy \frac{{\rho}^*(x)\tilde{\rho}(y)}{|x-y|}$ iki yük yoğunluğunun birbiriyle etkileşiminden doğan enerjidir. $D$;  $\mathcal{H}_{Coulomb}:=\{\rho:\rho \text{ ölçülebilir ve } D[\rho]:=D(\rho,\rho)<\infty\}$'da bir iç çarpım tanımlar.

Soru 2: Bunu gösterebilirmisiniz?

Tanım: Thomas-Fermi fonksiyonali $I:=\{\rho\in L^{5/3}(\mathbb{R}^{3})| \rho\geq 0 \text{ mutlak sürekli ve } D[\rho]<\infty\}$ üzerinde
$\epsilon_{N,\underline{Z}}^\text{TF}:T\rightarrow \mathbb{R},$ $\rho\rightarrow T(\rho)-A(\rho)+D[\rho]+R(\rho)$ olarak tanımlanır; $T(\rho):=\frac{3}{5}\gamma_{TF}\int_{\mathbb{R}^{3}}\rho(x)^{5/3}dx$ yük yoğunluğunun kinetik enerjisi, $\gamma_{TF}:=\frac{\hbar^{2}}{2m_e}\frac{3}{5}\left(\frac{6\pi^{2}}{q}\right)^{2/3}$ Thomas-Fermi sabiti, $q$ elektronların alabileceği spin durumlarının sayısı, $A(\rho):=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{R}^{3}} \sum_{k=1}^{K}\frac{e Z_k}{|x-R_k|}\rho(x) dx$ elektronların çekirdeklere doğru çekilme enerjisi, $D[\rho]$  yük yoğunluğunun kendisiyle etkileşiminden doğan enerji, $R(\rho):=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\sum_{1\leq k < l \leq K}\frac{Z_k Z_l}{|R_k-R_l|}$ çekirdeklerin birbirini itme enerjisidir.

Soru 3: $\epsilon_{N,\underline{Z}}^\text{TF}$ düzgün tanımlanmış mıdır? (Çekirdekleri sabit) bir molekül için hangi durumda ve nasıl bir yaklaştırımdır?

Soru 4: Thomas-Fermi sabiti $\gamma_{TF}$'nin değeri gökten mi düştü? Sayıyı kendi kendinize bulabilirmisiniz? İpucu: Faz alanı yoğunluğu.

Soru 5: $\epsilon_{N,\underline{Z}}^\text{TF}$ ile herhangi bir atomun/molekülün (örn. neon atomu için) taban enerjisini hesaplayabilirmisiniz?

Devamı: Thomas Fermi teorisi-2