BCS fonksiyoneli nerden çıktı?

2 beğenilme 0 beğenilmeme
77 kez görüntülendi

 'İkinci kuantumlama da neyin nesidir?' önbilgi, 'Kutudaki parçacığa ne oldu?' ise bu konuya giriş olarak görülebilir.

Periyodik sınır şartlarının geçerli olduğu $L\in\mathbb{R}$ kenarlı küp şeklindeki bir kutuya $\Omega\in \mathbb{R}^{3}$ $\frac{1}{2}$ spinli sadece iki-cisim potensiyali $V$ ile etkileşen $m>0$ kütleli fermiyonlar yerleştirelim.  Kolaycana işlem yapabilelim diye $V\in L^{1}(\mathbb{R}^{3})$ varsayalım. $a_{k,\psi}$ $a(x)$  gibi tanımlı sadece $x$ yerindeki bir parça yerine ortam şartlarına bağlı olarak $k\in{\frac{2\pi}{L}{\mathbb{Z}}}$ devinirliğine ve $\psi\in\{\uparrow,\downarrow\}$ spinine sahip bir parçayı yok ediyor ($a^*_{k,\psi}$ $a(x)$ da aynı şekilde yaratma işlemcisi). Devinirlik temsilinde çok parçacık Hamiltonyen işlemcisini yazarsak, yani $H:=\displaystyle\sum_i \frac{p_i^{2}}{2m}+\sum_{i<j}V(x_i-x_j)$'nin Fourier dönüşümünü alıp (tanımı burada) ikinci kuantumlarsak (Hamiltonyeni $\Gamma(H)$ yerine kısaca yine $H$ ile adlandırıyoruz):
$H=\displaystyle\sum_{k,\sigma}\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}a_{k,\sigma}^{*}a_{k,\sigma}+\frac{\sqrt{2\pi}}{2\vert\Omega\vert}\displaystyle\sum_{k,p,q,\sigma,\nu}\hat{V}(k)a_{p-k,\sigma}^{*}a_{q+k,\nu}^{*}a_{q,\nu}a_{p,\sigma}$

Ön alıştırma: Bunu biçimsel şekilde gösterin.

Tanım (BCS tipi durumlar):
$SD(X,Y):=\{A:X\rightarrow Y\vert A \text{ sınırlı ve doğrusal}\}$ ve $SD:(X)=SD(X,X)$ diye adlandıralım. O zaman sözde-serbest durumlar aşağıdaki şartları sağlayan doğrusal $\eta:SD(\mathcal{F})\rightarrow\mathbb{C}$  göndermeleridir: $\forall A\in SD(\mathcal{F}):\eta(A,A)\geq 0$, $\eta(1\!\! 1)=1$ ve $f_i$ $a_{k,\sigma}$ ya da $a_{k,\sigma}^{*}$'ya eşit için $\eta(f_1f_2f_3f_4)=\eta(f_1f_2)\eta(f_3f_4)-\eta(f_1f_3)\eta(f_2f_4)+\eta(f_1f_4)\eta(f_2f_3).$ BCS tipi durumlar sabit parçacık sayısı olmayan sözde-serbest durumlardır.

Sav 1: Spinler için öteleme ve (döndürmeler söz konusu olduğunda) $SU(2)$ değişmezliğini varsayarsak, $\eta$  sadece $\gamma(k):=\eta(a_{k,\uparrow}^{*}a_{k,\uparrow})=\eta(a_{k,\downarrow}^{*}a_{k,\downarrow})$ ve $\phi(k)=\eta(a_{-k,\uparrow}a_{k,\downarrow})=-\eta(a_{-k,\downarrow},a_{k,\uparrow})$ değerleriyle saptanılabilir. İpucu: Bunu görebilmek için diğer olasılıkları hesaplayın.

Sav 2: $\forall p\in{\frac{2\pi}{L}{\mathbb{Z}}} : \ \vert\phi(p)\vert^{2}\leq \gamma(p)(1-\gamma(p))$. İpucu: Cauchy-Schwarz eşitsizliği ve doğal ters değişme bağıntıları.

Sav 3: $\eta(H)=2\displaystyle\sum_k \frac{\hbar k^{2}}{2m}\gamma(k)+\frac{\sqrt{2\pi}}{\vert\Omega\vert}\displaystyle\sum_{k,p}\hat{V}(k)\bar{\phi}(k-p)\phi(p)+\frac{2\sqrt{2\pi}}{\vert\Omega\vert}\hat{V}(0)\left(\displaystyle\sum_p \gamma(p)\right)^{2}-\frac{\sqrt{2\pi}}{\vert\Omega\vert}\displaystyle\sum_{k,p}\hat{V}(k)\gamma(p-k)\gamma(p)$

Not: Sondan ikinci terim parçacık sayısının karesi çarpı bir sabit, sonuncu terim ise de değiş tokuş terimleridir. Bu iki terimi de kısa menzilli etkileşim potensiyalleri için s-dalga saçılmaları önplanda olduğundan ihmal edebiliriz. ['Neden önplanda?'nın cevabı ve aynı zamanda elastik saçılma kuramının özeti: her iki atomun çarpışmaya/dan giren/çıkan dalga fonksiyonlarını birlikte küresel harmonik açılımını yapıyoruz ve bu terimleri -izotropik diye yaklaştırdığımız Hamiltonyenin, yörüngesel devinirlik işlemcisiyle değişmesi sayesinde- sadece iki tane sayı $l,m$ ile ilişkilendirebiliyoruz. Bunlar çarpışan iki atomun  birbiri etrafındaki yörüngesel devinirliğini (Schrödinger denkleminden çıkan elektronun açısal devinirliği değil) gösteriyor. Bu yörüngesel kinetik enerji  potensiyal enerjiye ayreten ekleniyor: $V_{\text{etkisel}}(r)=V(r)+\frac{\hbar^{2}l(l+1)}{2\kappa r^{2}}$ ($\kappa$ indirgenmiş kütle) ve düşük sıcaklıklarda/enerjilerde $l\neq 0$ atomların $V(r)\sim\frac{1}{r^{6}}$'yi hissedecek kadar yakınlaşmalarına engel oluyor. Anlayacağınız bu çerçevede bunlar için zaten yoğuşma mümkün olmuyor ve biz sadece s ile gösterilen $l=0$ atomlarını göz önüne alıyoruz.]
Ek soru: 'Neden ihmal edebiliriz'in cevabı nedir? (buraya bakabilirsiniz)

Tanım (von Neumann entropisi): Entropi bir sistemdeki belirsizlik hakkında genel bilgi verir. Biz burada $S(\eta):=-\text{iz}_\mathcal{F}(\eta ln\eta)$ olarak tanımlanan von Neumann entropisini inceleyeceğiz.

Sav 4: $\Upsilon(p):=\begin{pmatrix}
\gamma(p)\ \ \   \ \ \bar{\phi(p)}\ \ \\ \phi(p)\ (1-\gamma(p))
\end{pmatrix}$ olmak üzere $S(\eta)=-2\displaystyle\sum_p İz_{\mathbb{C}^{2}}\left( \Upsilon(p)\ln \Upsilon(p)\right)$

Sav (termodinamik basınç):
Sabit bir sıcaklıktaki $T=\frac{1}{\beta}\geq 0$ ve $\mu$ kimyasal potensiyalli bir $\eta$ durumunun termodinamik basıncı $\mathcal{P}(\eta):=\frac{1}{\vert \Omega\vert}[TS(\eta)-\eta(H-\mu N)]$ ($N:=\displaystyle\sum_{\sigma,k}a_{k,\sigma}^{*}a_{k,\sigma}$ sayı işlemcisi) ise, onun $\eta(H)=2\displaystyle\sum_k \frac{\hbar k^{2}}{2m}\gamma(k)+\frac{\sqrt{2\pi}}{\vert\Omega\vert}\displaystyle\sum_{k,p}\hat{V}(k)\bar{\phi}(k-p)\phi(p)$ için sonsuz hacim sınırını $\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ aldığımızda $-\frac{2}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^{3}}(T \text{iz}_{\mathbb{C}^{2}}\Upsilon(p)\ln\Upsilon(p)+(\frac{p^{2}}{2m}-\mu)\gamma(p))dp-\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^{3}}\vert\alpha(x)\vert^{2}V(x)dx$'yi buluruz, $\alpha(x):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(p)e^{i\frac{x p}{\hbar}}dp$
$V$ için $2V$ yazalım ve baştaki sabitleri gözardı edersek
Tanım (BCS fonksiyonali): $\mathcal{D}$, $\gamma\in L^{1}(\mathbb{R}^{3},(1+p^{2})dp)$,$0\leq \gamma(p)\leq 1$ ve $\alpha\in H^{1}(\mathbb{R}^{3},dx)$, $\vert\hat{\alpha}(p)\vert^{2}\leq\gamma(p)(1-\gamma(p))$ şartlarını sağlayan $(\gamma,\alpha)$ gönderme ikililerinin kümesi; $V\in L^{3/2}(\mathbb{R}^{3},dx)$ gerçel değerli ve $\mu\in\mathbb{R}$ olsun. O zaman $T:=\frac{1}{\beta}\geq 0$ ve $(\gamma,\alpha)\in\mathcal{D}$ için BCS enerji fonksiyonali $\mathcal{F}_\beta(\gamma,\alpha):=\int (\frac{p^{2}}{2m}\gamma(p)dp+\int\vert\alpha(x)\vert^{2}V(x)dx-\frac{1}{\beta}S(\gamma,\alpha)$ olarak tanımlanır. Burada -  $s(p)$, $s(1-s)=\gamma(1-\gamma)-\vert\hat{\alpha}\vert^{2}$ ile belirlenmek üzere- $S(\gamma,\alpha)=-\int[s(p)\ln s (p)+(1-s(p))\ln(1-s(p))]dp$'dir. 

devamı: Bir aşırı soğuk fermiyon gazı ne zaman süperakışkandır?

23, Ağustos, 2015 Akademik Fizik kategorisinde fiziksever (1,165 puan) tarafından  soruldu
27, Kasım, 2016 Anil tarafından yeniden kategorilendirildi
...