Göreceliliksel kuantum mekaniğinde m kütleli 1/2-spine sahip serbest parçacıkların hareketini betimleyen Dirac işlemcisini (temsil değişikliği yaparak) tanımlamak istiyoruz. Bu çerçevede, ilgili Hilbert uzayımız H:=L2(R3:C4)≅L2(R3)⊗C4 ve bir parçacığın (özdeğer olarak, yani p∈R3) devinimine bağlı enerji fonksiyonu E(p):=√p2+m2c2'dir. İlgili enerji işlemcisi, böl(E):={ψ∈L2(R3)|∫|p|2|ψ(p)|2dp<∞ olmak üzere şöyledir: E:böl(E)⊂H→H,ψ→(Eψ)(p)=E(p)ψ(p).
Tanım: Pauli matrisleri σ1:=(0110), σ2:=(0−ii0), σ3:=(100−1). Dirac matrisleri ∀ν∈{1,2,3}:αν:=(0σνσν0) ve β:=(100−1)'dır. Ayrıca →α:=(α1,α2,α3)T.
Tanım: Foldy-Wouthuysen dönüşümü UFW:H→H,ψ→:=UFW(p)ψ(p) işlemcisi aracılığıyla tanımlanır. Burada UFW ψ durumun yine (özdeğer) devinimine bağlı UFW=E(p)+mc2√2E(p)+cβ→α→p+E(p)√2E(p)(E(p)+mc2) fonksiyonudur.
Soru 1: Dönüşümün neden üniter olmasına ihtiyacımız var? Öyle olduğunu gösterebilir misiniz? İpucu: {αν,αμ}=2δνμ, {αν,β}=0 .
Soru 2: ˆD0:=U∗FW(p)(E(p)00−E(p))UFW(p)'yi →α ve β cinsinden yazabilirmisiniz? ˆD0 özeşlenik midir?
(İç çarpım ⟨ψ,ψ⟩:=4∑ν=1⟨ψν,ψν⟩L2(R3) =∫dp⟨ψ(p),ψ(p)⟩C4)
Tanım: Schwartz uzayı α,β∈Nn0:‖ψ‖α,β normu ile S(Rn):={ψ∈C∞(Rn)|∀α,β∈Nn0:‖ψ‖α,β<∞} ise, Fourier dönüşümü F:S(Rn)→S(Rn),ψ↦Fψ:=ˆψ:=1√2π∫e−ixpℏψdnx'dir.
Soru 3: Ama bizim durumların S'de değil de H'de olması bir sorun teşkil etmiyor mu?
Tanım: Dirac işlemcisi böl(D0):=H1(R3:C4) ile D0:böl(D0)→H,ψ↦FˆD0F−1ψ olarak tanımlanır.
Soru 4: Neden şimdi de işlemcinin bölgesini Sobolev kümesi olarak tanımlayıverdik?
Soru 5: D0'nin ˜D:=νανci∂ν+βmc2 işlemcisinin özeşlenik uzantısı olduğunu gösterebilirmisiniz?
Soru 6: D0'ın izgesi σD0 nedir?
Soru 7: Dirac denklemini D0ψ=0 çözebilirmisiniz?
Not: Soru 2'de negatif enerjili parçalarında varolduğunu varsaymış olduk (=Dirac denkleminden çıkan bir sonuç). Aslında olayların bir doğrusal izleyişi (tek değil) kuantum mekaniksel döndürme grubu SU(2) yerine daha geniş SL(2,C)'yi seçerek (bundan uygun Lorentz dönüşümleri grubu SO+(3,1)'ye topolojik denklik olduğu için) bütün kuramı görecelilikle geçimli hale getirip ortaya çıkan pα˙β˜v˙β(p)=mcuα(p) ve p˙αβuβ(p)=mc˜v˙α(p) spinor denklemlerini çözerek Dirac denklemini bulmak. Tarihsel izleyişi ise bambaşka.