Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
509 kez görüntülendi

Göreceliliksel kuantum mekaniğinde m kütleli 1/2-spine sahip serbest parçacıkların hareketini betimleyen Dirac işlemcisini (temsil değişikliği yaparak) tanımlamak istiyoruz. Bu çerçevede, ilgili Hilbert uzayımız H:=L2(R3:C4)L2(R3)C4 ve bir parçacığın (özdeğer olarak, yani pR3) devinimine bağlı enerji fonksiyonu E(p):=p2+m2c2'dir. İlgili enerji işlemcisi, böl(E):={ψL2(R3)||p|2|ψ(p)|2dp< olmak  üzere şöyledir: E:böl(E)HH,ψ(Eψ)(p)=E(p)ψ(p)
Tanım: Pauli matrisleri σ1:=(0110), σ2:=(0ii0), σ3:=(1001). Dirac matrisleri ν{1,2,3}:αν:=(0σνσν0) ve β:=(1001)'dır. Ayrıca α:=(α1,α2,α3)T.

Tanım: Foldy-Wouthuysen dönüşümü UFW:HH,ψ→:=UFW(p)ψ(p) işlemcisi aracılığıyla  tanımlanır. Burada UFW ψ durumun yine (özdeğer) devinimine bağlı UFW=E(p)+mc22E(p)+cβαp+E(p)2E(p)(E(p)+mc2) fonksiyonudur.

Soru 1: Dönüşümün neden üniter olmasına ihtiyacımız var? Öyle olduğunu gösterebilir misiniz? İpucu: {αν,αμ}=2δνμ{αν,β}=0 .

Soru 2: ˆD0:=UFW(p)(E(p)00E(p))UFW(p)'yi α ve β cinsinden yazabilirmisiniz? ˆD0 özeşlenik midir?

(İç çarpım ψ,ψ:=4ν=1ψν,ψνL2(R3) =dpψ(p),ψ(p)C4)

Tanım: Schwartz uzayı α,βNn0:ψα,β normu ile S(Rn):={ψC(Rn)|α,βNn0:ψα,β<} ise, Fourier dönüşümü F:S(Rn)S(Rn),ψFψ:=ˆψ:=12πeixpψdnx'dir.

Soru 3: Ama bizim durumların S'de değil de H'de olması bir sorun teşkil etmiyor mu?

Tanım: Dirac işlemcisi böl(D0):=H1(R3:C4) ile D0:böl(D0)H,ψFˆD0F1ψ olarak tanımlanır.

Soru 4: Neden şimdi de işlemcinin bölgesini Sobolev kümesi olarak tanımlayıverdik?

Soru 5: D0'nin ˜D:=νανciν+βmc2 işlemcisinin özeşlenik uzantısı olduğunu gösterebilirmisiniz?

Soru 6: D0'ın izgesi σD0 nedir?

Soru 7: Dirac denklemini D0ψ=0 çözebilirmisiniz?

Not: Soru 2'de negatif enerjili parçalarında varolduğunu varsaymış olduk (=Dirac denkleminden çıkan bir sonuç). Aslında olayların bir doğrusal izleyişi (tek değil) kuantum mekaniksel döndürme grubu SU(2) yerine daha geniş SL(2,C)'yi seçerek (bundan uygun Lorentz  dönüşümleri grubu SO+(3,1)'ye topolojik denklik olduğu için) bütün kuramı görecelilikle geçimli hale getirip ortaya çıkan pα˙β˜v˙β(p)=mcuα(p) ve p˙αβuβ(p)=mc˜v˙α(p) spinor denklemlerini çözerek Dirac denklemini bulmak. Tarihsel izleyişi ise bambaşka.

Lisans Teorik Fizik kategorisinde (1.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 509 kez görüntülendi
20,293 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,661,448 kullanıcı