Denklemin tüm çözümlerini bulunuz

Question

Kategoriyi lisans seçtim ama aslında ortaöğretim bile olabilir. Geçen gün karşıma çıktı, hoşuma gitti. Şu denklemin çözümlerini non-negatif tamsayı çözümlerini bulunuz:

$$x^3-15x^2+75x +27y^3 = 341$$

Answer 1

$x=u+5$ dersek

$$u^3+(3y)^3=6^3$$ olur.

• $y=1$ için $u$ ve $x$ tam sayı değil.
• $y=2$ için $u=0$ ve $x=5$ olur.
• $y\ge 3$ için $x$ değerleri negatif olur.

Dolayısıyla biricik pozitif çözüm $(5,2)$ olur.

__________________________________________________________

Cevabı biraz ilerletirsek: tam sayı çözümü için $3\mid u$ sağlanmalı. $u=3z$ yazarsak

$$z^3+y^3=2^3$$ olmalı. Negatif olmayan tam sayı çözümleri $(2,0)$ ve $(0,2)$ olur. İkisi aynı anda negatif olamaz. Biri pozitif ve biri negatif ise küp farkı gelir ve küp sıralaması farkı dramatik olarak açıldığından ($1,8,27,64,\ldots$) sonucun $8$ olacağı bir küp farkının olmayacağını söylemek kolay.

Comments

Benim soruyu sevmemin sebebi: istenilen cevabın Fermat'nın Son Teoremine gönderme yapması.

$u^3+(3y)^3 = 6^3$ denkleminden $u \leq 0$ (yani $x \leq 5$) ya da $y \leq 0$ olması gerektiğini görüyoruz

---

O zaman sıradaki sorum sana gelsin.

---

$(x-5)^3+27(y-2)(y^2+2y+4)=0$   eşitliğinden $(5,2)$ nin bir çözüm olduğu görülüyor. Negatif olmayan çözümlerden $(11,0)$ da olmalı.

---

Çözümün ikinci kısmında var: $(2,0) \mapsto (6,0) \mapsto (11,0)$ .
Senin yazdığın gibi olan hali ile başka çözümlerin olmayacağını söylemek direkt gözükmüyor gibi.

---

Evet, bu haliyle başka çözüm olup olmadığını göremiyorum.