Küçük değerleri inceleyerek denklemin bir çözümünün (m,n)=(1,3) sıralı ikilisi olduğunu gözlemlemekte fayda var. Başka çözüm olup olmadığını araştıralım.
Sophie Germain özdeşliğini kullanarak 85m=n4+4=(n2−2n+2)(n2+2n+2) biçiminde çarpanlara ayıralım. n=1 için 85m=5 olup denklemi sağlayan bir m tam sayısı olmadığını anlarız. Bu sayede n≥2 kabul edebiliriz ve böylelikle, çözümün sonraki basamaklarında n2−2n+2 ve n2+2n+2 çarpanlarının 1 den büyük olduğunu kullanabiliriz.
85=5⋅17 dir.
- 5∣n2−2n+2 veya 5∣n2+2n+2 dir.
- 17∣n2−2n+2 veya 17∣n2+2n+2 dir.
Eğer 5∣n2−2n+2 ise (n−1)2+1≡0(mod5) olup (n−1)2≡−1≡4(mod5) yazılır. Buradan n≡3 veya 4(mod5) bulunur. Bu değerler ise (n+1)2+1≡0(mod5) denkliğini sağlamadığı için (n−1)2+1, (n+1)2+1 çarpanlarından yalnızca biri 5 e tam bölünebilir.
Eğer 17∣n2−2n+2 ise (n−1)2+1≡0(mod17) olup (n−1)2≡−1≡16(mod17) yazılır. Buradan n≡5 veya −3(mod17) bulunur. Bu değerler ise (n+1)2+1≡0(mod17) denkliğini sağlamadığı için (n−1)2+1, (n+1)2+1 çarpanlarından yalnızca biri 17 ye tam bölünebilir.
Çarpanlardan herhangi biri 1 e eşit olamayacağına göre, Bu çarpanlardan küçük olanı 5m e eşit, büyük olanı ise 17m e eşit olmalıdır.
(n−1)2+1=5m ve (n+1)2+1=17m denklemlerinden n bilinmeyenini yalnız bırakırsak n=√5m−1+1=√17m−1−1 elde edilir. Böylece
√17m−1−√5m−1=2
olur. m≥1 tam sayıları için 17m>5m olduğundan bu denklemin sol tarafındaki √17m−1−√5m−1 ifade artandır. Dolayısıyla (1) denklemini sağlayan en fazla bir m değeri olabilir. Başta da belirttiğimiz gibi m=1 bir çözümdür.
Tek çözümün (m,n)=(1,3) sıralı ikilisi olduğunu anlarız.