Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
481 kez görüntülendi
85m4=n4  denkleminin tüm pozitif tamsayı çözümlerini bulunuz.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 481 kez görüntülendi
Hangi yarışmada sorulduğunu bulamadım ama Olimpiyat sorusu düzeyinde güzel bir soru.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Küçük değerleri inceleyerek denklemin bir çözümünün (m,n)=(1,3) sıralı ikilisi olduğunu gözlemlemekte fayda var. Başka çözüm olup olmadığını araştıralım.

 

Sophie Germain özdeşliğini kullanarak 85m=n4+4=(n22n+2)(n2+2n+2) biçiminde çarpanlara ayıralım. n=1 için 85m=5 olup denklemi sağlayan bir m tam sayısı olmadığını anlarız. Bu sayede n2 kabul edebiliriz ve böylelikle, çözümün sonraki basamaklarında n22n+2 ve n2+2n+2 çarpanlarının 1 den büyük olduğunu kullanabiliriz.

 

85=517 dir.

  •  5n22n+2 veya 5n2+2n+2 dir.
  • 17n22n+2 veya 17n2+2n+2 dir.

Eğer 5n22n+2 ise (n1)2+10(mod5) olup (n1)214(mod5) yazılır. Buradan n3 veya 4(mod5) bulunur. Bu değerler ise (n+1)2+10(mod5) denkliğini sağlamadığı için (n1)2+1, (n+1)2+1 çarpanlarından yalnızca biri 5 e tam bölünebilir.

Eğer 17n22n+2 ise (n1)2+10(mod17) olup (n1)2116(mod17) yazılır. Buradan n5 veya 3(mod17) bulunur. Bu değerler ise (n+1)2+10(mod17) denkliğini sağlamadığı için (n1)2+1, (n+1)2+1 çarpanlarından yalnızca biri 17 ye tam bölünebilir.

Çarpanlardan herhangi biri 1 e eşit olamayacağına göre, Bu çarpanlardan küçük olanı 5m e eşit, büyük olanı ise 17m e eşit olmalıdır.

(n1)2+1=5m ve (n+1)2+1=17m denklemlerinden n bilinmeyenini yalnız bırakırsak n=5m1+1=17m11 elde edilir. Böylece

17m15m1=2

olur. m1 tam sayıları için 17m>5m olduğundan bu denklemin sol tarafındaki 17m15m1 ifade artandır. Dolayısıyla (1) denklemini sağlayan en fazla bir m değeri olabilir. Başta da belirttiğimiz gibi m=1 bir çözümdür.

 

Tek çözümün (m,n)=(1,3) sıralı ikilisi olduğunu anlarız.

(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Sophie Germain özdeşliği şöyle görülür: n4+4=n4+4n2+44n2=(n2+2)2(2n)2=(n2+2+2n)(n2+22n)

Ben son kısmı şöyle gösterdim:

n2+2n+2n22n+2=(175)m olur.

m2 için (175)m=(3,4)m>10 olur. Ama,

nN için, n2+2n+2<10(n22n+2) olduğu, kolayca (diskriminant kullanarak) görülür.
17/5 oranını yazma fikriniz çok iyi Doğan hocam. Çözümün o aşamasına gelince, oran yerine çarpanların farkına bakıp 4n=17m5m elde ettim. Bu fark n e bağlı olduğu için işime yaramadı ve bir süre bu noktada tıkanmışım. (Daha sonra; n i yok ederek, m e bağlı olan (1) denklemini yazma yoluna girdim.)
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,909 kullanıcı