Question

$\dfrac{2n+3}{n^2+n+1}$ ifadesinin tam sayı olmasını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır? (Tübitak 2018 Ortaokul 1.Aşama)

$-1,0,2$  sayılarının kesri tamsayı yaptığı görülüyor hemen. Fakat yanıt anahtarı üç $n$  değeri daha olduğunu söylüyor.

Comments

Tamsayı olması için öncelikle pay, paydadan büyük eşit olmalıdır. Buna göre,

$$2n+3\leq n^2+n+1\Rightarrow n^2-n-2=(n-2)(n+1) \leq0$$ olmalıdır. Buysa yalnızca $n=-1, 0, 1, 2$ tamsayıları için mümkündür. Bu tamsayılar için kesrin değerleri sırasıyla $$1, 3, 5/3, 1$$ olmaktadır.

Ben bir problem göremedim. Cevap anahtarı yanlış olabilir.

---

@Yasin Şale kesir negatif de olabilir. O durumda ilk cümle doğru olmak zorunda değil?

---

Evet, uçmuşum; pardon. Mutlak değer olarak büyük eşit demem lazımdı. Sonra nasıl çıkılır işin içinden bilmiyorum. 

---

$|2n+3| \geq n^{2}+n+1$ ..

$n^{2} \leq 2|n|+3-n-1 \leq 3|n|+2$ .