Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
356 kez görüntülendi

Pozitif rasyonel sayılarda,

{x2}+{x}=0,99 denkleminin sonsuz çözümü olduğunu ama

{x2}+{x}=1 denkleminin hiç çözümü olmadığını gösteriniz.

(Önceki gibi {x}=xx: Tam Değer)

(Romanya da, 2004 yılında, 9. sınıf öğrencilerine sorulmak üzere hazırlanmış)

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 356 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Basitçe çözmeye çalışalım.

1. x tamsayı olamaz. (10 tabanında) {x} virgülden sonra tek basamaklı (o zaman karesi virgülden sonra 2 basamaklı  olur)  ise  (x2 nin virgülden sonra 2. basamağının 9 olması için) bu basamak 3 veya 7 (yani {x}=0,3 veya 0,7) olmalıdır. Birkaç deneme ile, a=1,3 ( ve a=2,7) çözümünü buluruz. Şimdi bunlardan yeni çözümler üretelim.

(nN olmak üzere) x=5n+a ise {x}={a} ve x2=25n2+10a+a2 olur ve (10aN olduğundan)

{x2}={a2} olur ve

  {x}2+{x}={a2}+{a}=0,99 sağlanır.

2. x, {x}2+{x}=1 denkleminin (pozitif rasyonel) bir çözümü olsun.

x2+x=x2+{x2}+x+{x}=x2+x+1N+ olur.

Ama, x2+xn (nN+) polinomunun rasyonel kökü tamsayı olmak zorundadır ve tamsayıların bu ({x2}+{x}=1) denklemin çözümü olmadığı  aşikar.

Ama, {x2}+{x}=1 denkleminin rasyonel olmayan çözümleri var ve en azından birini bulmak zor değil.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,905 kullanıcı