Garip bir problem

Question

$\lfloor{a}\rfloor$ ile $a$ gerçel sayısını aşmayan en büyük tam sayıyı gösterelim.

$\lfloor{x}\rfloor+\lfloor{3x}\rfloor+\lfloor{5x}\rfloor+\lfloor{7x}\rfloor+\lfloor{11x}\rfloor+\lfloor{13x}\rfloor=1994$

$\lfloor{x}\rfloor+\lfloor{3x}\rfloor+\lfloor{5x}\rfloor+\lfloor{7x}\rfloor+\lfloor{11x}\rfloor+\lfloor{13x}\rfloor=1995$

$\lfloor{x}\rfloor+\lfloor{3x}\rfloor+\lfloor{5x}\rfloor+\lfloor{7x}\rfloor+\lfloor{11x}\rfloor+\lfloor{13x}\rfloor=1996$

$\lfloor{x}\rfloor+\lfloor{3x}\rfloor+\lfloor{5x}\rfloor+\lfloor{7x}\rfloor+\lfloor{11x}\rfloor+\lfloor{13x}\rfloor=1997$

Denklemlerinden kaç tanesinin çözüm kümesi boş değildir? (UMO-1997)

Comments

Sanki bizden $x$ i oluşturmamizi istiyor.

Answer 1

Hoş bir soru.

Tamsayı çözümü olmadığı kolay.

Önce basit bir hesap ile, (herhangi bir denklem için) eğer çözüm varsa $49<x<50$ olmalıdır.

Herhangi bir $m$ tamsayısı ve her $a\in\mathbb{R}$ için 

$\lfloor m+a\rfloor=m+\lfloor a\rfloor$ olduğunu gö(ste)rmek zor değil.

$x=49+a,\ 0<a<1$ (denklemlerden birinin) bir çözüm olsun.

Öyleyse:

$\lfloor{x}\rfloor+\lfloor{3x}\rfloor+\lfloor{5x}\rfloor+\lfloor{7x}\rfloor+\lfloor{11x}\rfloor+\lfloor{13x}\rfloor=n\quad(n=1994,\ldots,1997)$ 

olması için ($49\times40=1960$ olduğundan)

$\lfloor{a}\rfloor+\lfloor{3a}\rfloor+\lfloor{5a}\rfloor+\lfloor{7a}\rfloor+\lfloor{11a}\rfloor+\lfloor{13a}\rfloor=k\quad(k=34,\ldots,37)$ 

olması gerekli ve yeterlidir.

$a<1$ için bu terimler sırasıyla en fazla: 0,2,4,6,10,12 olabilirler.

Dolayısıyla, toplamları da en fazla 34 olabilir ve $a\geq\frac{12}{13}$ için gerçekten de 34 e ulaşabiliyoruz.

Bu nedenle sadece $k=34$ yani  sadece  $n=1994$ için çözüm vardır (Çözüm aralığı:$[49+\frac{12}{13},50)$ olur)

Comments

$a$ için $0\leq a <1$ olmazmi?

---

49 denklemlerin hiç birini sağlamadığı için $x=49+a$ (denklemlerden biri için) bir çözüm ise $a>0$ olmalıdır.

---

Biraz daha basit şekilde şöyle düşünülebilir:

$f(x)=\lfloor{x}\rfloor+\lfloor{3x}\rfloor+\lfloor{5x}\rfloor+\lfloor{7x}\rfloor+\lfloor{11x}\rfloor+\lfloor{13x}\rfloor$ olsun.

($n\in\mathbb{N}^+$ için) $\lfloor nx\rfloor$; azalmayan, sadece tamsayı değerler alan ve sadece $nx$ tamsayı iken kendisine eşit olan bir fonksiyondur. $f(49)=1960,\ f(50)=2000$ dir.

$49<x<50$ için 

$1\times49\leq\lfloor{x}\rfloor=49\leq50-1$

$3\times49\leq\lfloor{3x}\rfloor\leq3\times50-1$

$\vdots$

$13\times49\leq\lfloor 13 x\rfloor\leq 13\times50-1$

eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa:

$1960\leq f(x)\leq f(50)-6=1994$

elde edilir. Ayrıca (ÖNEMLİ)

$x,\ 50$ ye yeterince yakın seçilip sağdaki eşitsizliklerin tümü eşitlik yapılabilir.

Öyleyse $f(x)$ fonksiyonu $1994$ değerini alır ama $1994$ ile $2000$ arasındaki hiç bir değeri alamaz.