$x$ bir tam sayı ise eşitliğin doğru olacağı açıktır.
$x$ bir tam sayı değilse
$x = f(x) + g(x)$ olur. ($(f(x)$ = tam değer kısmı $g(x)$ = virgülden sonraki kısım olsun.
Ve ayrıca $0\leq g(x) < 1$ olacaktır. Bu durumda öyle bir $i = 1,2,3,,,,a-1$ sayısı vardır ki
$g(x) + \dfrac {i-1} {a} < 1$ ve $ g(x) + \dfrac {i} {a} \geq 1$ $ ...(1)$ eşitsizliği sağlanır.
Buna göre $f(x) = f(x+1/a) = .......=f(x+i-1/a)$ ve
$f(x+i/a)=......=f(x+a-1/a)= f(x)+1$ olacaktır. Böylece
$f(x)+f(x+1/a)+......+f(x+a-1/a)=i.f(x)+(a-i)(f(x)+1)$
olacaktır. $(1)$ den faydalanarak
$ a-i/a \leq g(x) < a-i+1/a$ olcağından
$a.f(x)+a-i \leq a.f(x)+a.g(x)=ax<a.f(x)+a-i+1$
olmalıdır. Buradan $f(ax)=a.f(x)+a-i$ elde edilir. Böylece ispat biter