Düşünülesi bir problem

Question

Pekala bir bilgisayar ekranında 2 sayı var bunlar x ve y.

 X ve y sayıları 0 dan büyüktür ve tamsayılardır. İkiside birbirinden farklıdır.

Bunlar bir bilgisayar programına girdi olarak veriliyor. Programın algoritması:

1-)  x/y 

2-) x’i bir arttır y’yi bir arttır

3-) 1. Adıma geri dön

Eğer x/y kalanlıysa program döngüsü bozulup hata veriyor.

Buna göre bu program sorunsuzca 7 kez ardarda çalışıyor. Sonra döngü kırılıyor. Buna göre x’in alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? Aynı zamanda 8, 9, ..... n kez çalışması durumunda çıkarabileceğimiz bir formül varmı?

(Not: soruyu ben çözdüm fakat 2. Soruyu yanıtlayamadım. Sorunun çözüm yöntemi birden fazlaymış diğerlerini de öğrenmek istiyorum)

Comments

Çözümünüzü sakıncası yoksa bizimle paylaşır mısınız?

---

1-2 göz attığımızda gözümüze çarpan kurallar var

-ardarda bölündüğü için arada asal sayı olmamalı

-en küçük değeri alabilmek için y nin 1 olması gerek çünkü eğer y yi büyük bir sayıdan başlatırsam asal çarpanlar büyür.

-ve x sadece y=1 için asal olabilir

Arada asal sayı olmaması için ben şöyle bir düşünce geliştirdim: n!+1 ≤ X<n!+n mesela bu örnekte arada hiç asal sayı yok (n!+1 dışında onu zaten 1 e böleceğimiz için farketmez)

Soruda 7 kez bölünüyor yukarıdaki mantıktan 7! İçindeki çarpanları taşıyan en küçük sayı gerekli.

Bunu da 1•2•2•3•5•7 ile sağlayabiliriz (içinde 7,6,5,4,3,2,1 çarpanları var.)

Bunların çarpımı 420 geliyor

Verdiğim eşitlikten (n!+1 ≤ X<n!+n)  

X=421 ve Y=1 sonucuna erişiyorum.

Ne yazık ki genelleme yapamıyorum.   2. Soruyu yanıtlayamadım

Edit: imla hataları

Edit 2: problemin çözümünü paylaşmak istemedim çünkü paylaşırsam benim gördüğüm yerden görmeye devam edersiniz; bakış açınız daralır diye paylaşmadım. Problemin çözüm sayısı 3 ten fazlaymış. 

---

(n!+1 ≤ X<n!+n)  olmak zorunda değil.

Answer 1

Yorumdaki gibi $y=1$ alalım. O zaman

$x\equiv1\mod2$                ($2\mid x+1$ olmalı)

$x\equiv1\mod3$                ($3\mid x+2$ olmalı)

$x\equiv1\mod4$                ($4\mid x+3$ olmalı)

$x\equiv1\mod5$                ($5\mid x+4$ olmalı)

$x\equiv1\mod6$               ($6\mid x+5$ olmalı)

$x\equiv1\mod7$               ($7\mid x+6$ olmalı)

.

.

$x\equiv1\mod n$               ($n\mid x+n-1$ olmalı)

Bunlardan $x-1\equiv0\mod2,\mod3,\ldots,\mod n$ buluruz.

Öyleyse $ \text{ekok}(2,3,\ldots, n)\mid x-1$ olması gerekli ve yeterlidir.

Öyleyse $x=\text{ekok}(2,3,\ldots, n)+1$ aranan sayıdır.

Comments

$x=n!+1$ için de $\text{ekok}(2,3,\ldots, n)\mid x-1$ olur, ama (genellikle) en küçük sayı olmaz. 

Örneğin $7!+1=5041$ ama $\text{ekok}(2,3,\ldots, 7)+1=421$ dir.

---

Teşekkürler hocam