Önce şunları gösterelim:
∀x∈A⊂R için f(x),g(x)>0 ve f ve g, A kümesinde biri kesin artan, diğeri artan fonksiyonlar ise, fg (çarpım) fonksiyonu da A da kesin artandır .
∀x∈A⊂R için f(x),g(x)<0 ve f ve g, A kümesinde biri kesin artan, diğeri artan fonksiyonlar ise, fg (çarpım) fonksiyonu A da kesin azalandır .
f, A da artan fonksiyon, f(A)⊆B ve g, B de artan fonksiyon ise, g∘f, A da artan fonksiyondur.
f, A da azalan fonksiyon, f(A)⊆B ve g, B de artan fonksiyon ise, g∘f, A da azalan fonksiyondur.
İlk iki önermeyi kanıtlayalım. Diğerlerinin kanıtı daha kolay. Bunlar, 1. sınıf Analiz dersinin standart önermeleridir (Bunlar, genellikle, aralık için ifade edilir ama daha genel olarak da doğrudur).
1.(f kesin artan varsayalım) x1,x2∈A,x1<x2 olsun . 0<f(x1)<f(x2) olur. g(x1)>0 olduğundan, f(x1)g(x1)<f(x2)g(x1) olur. 0<g(x1)≤g(x2) ve f(x2)>0 oluşundan, f(x2)g(x1)≤f(x2)g(x2) olur. İki eşitsizlik birleştirince, f(x1)g(x1)<f(x2)g(x2) elde edilir.
2. (f kesin artan varsayalım) x1,x2∈A,x1<x2 olsun . f(x1)<f(x2)<0 olur. g(x1)<0 olduğundan, f(x1)g(x1)>f(x2)g(x1) olur. g(x1)≤g(x2)<0 ve f(x2)<0 oluşundan, f(x2)g(x1)≥f(x2)g(x2) olur. İki eşitsizlik birleştirince, f(x1)g(x1)>f(x2)g(x2) elde edilir.
Bunları (ve x in kesin artan, ⌊x⌋ in artan olduğunu) bir kaç kez kullanarak, f(x)=x⌊x⌊x⌊x⌋⌋⌋⌋ fonkiyonunun [1,+∞) aralığında kesin artan olduğu sonucuna varırız. 0≤x<1 için f(x)=0 dır. 1296=64=f(6)<2022<f(7)=74=2401 olduğu için, f, (0,6]∪[7,+∞) kümesinde 2022 değerini alamaz.
6<x<7 için ⌊x⌋=6, 36<x⌊x⌋<42 olup, 36≤⌊x⌊x⌋⌋≤41 ve 216<x⌊x⌊x⌋⌋<287 olur. Buradan, 216≤⌊x⌊x⌊x⌋⌋⌋≤286 elde ederiz. Son olarak, 1296<x⌊x⌊x⌊x⌋⌋⌋<2002 buluruz. f, (6,7) aralığında da 2022 değerini (daha da fazlası, pozitif gerçel sayılarda, [2002,2401) aralığındaki hiç bir değeri) almadığı sonucuna varırız.
İkinci soru:
Yukarıdaki önermelerden, f nin, (−∞,0) aralığında kesin azalan olduğu ve 1296=(−6)4=f(−6)<2022<f(−7)=(−7)4=2401 olduğu görülür.
Bu kez, öncekine benzer şekilde (adımları atlıyorum) −7<x<−6 iken −336≤⌊x⌊x⌊x⌋⌋⌋≤−252 buluruz. Öyleyse, eşitliği, −2022252,…,−2022336 sayılarından başkası sağlayamaz. Biraz uğraşarak (ben Excel ile yaptım), x=−2022305 sayısının denklemi sağladığı görülür, başka gerçel çözüm de var olamaz.