x∈Z ise sağ taraf aslında tanımsız.
Ama şu şekilde varsaydığımızda eşitlik sağlanıyor.
x∈Z için
cotx=∞ ve arctan∞=π2 KABUL EDERSEK,
iki tarafın eşit olduğu kolayca görülür.
x∉Z olsun.
cot fonksiyonunun periyodu π olduğu için.
cot(πx)=cot(π(x−⌊x⌋))
ve 0<π(x−⌊x⌋)<π olur.
cot(π(x−⌊x⌋))=tan(π2−(π(x−⌊x⌋)))
ve −π2<θ=π2−(π(x−⌊x⌋))<π2 dir.
Bu nedenle, arctan(tanθ)=θ olur ve:
arctan(cot(πx))=arctan(tan(π2−(π(x−⌊x⌋)))=π2−(π(x−⌊x⌋))=π2−πx+π⌊x⌋
Buradan:
−12+x+arctan(cot(πx))π=−12+x+12−x+⌊x⌋=⌊x⌋
elde ederiz.