Dogrusal cebir kullanarak integral almak

Question

$n$ boyutlu $V$ vektor uzayinin bazi $e_i=\{e^xx^i\}$ olsun.

Bu uzaydan rastgele bir eleman alalim

$f = \sum_{i=1}^n a_i e^xx^i$

sansa bakin ki bu elemanin turevi de bu uzayda yasiyor

$\frac{d}{dx}f = \sum_{i=1}^n a_i e^x(x^i + ix^{i-1})$

Turevin lineer oldugunu hatirlayip bu uzayda turevi matriks olarak ifade edelim.

$\fbox{$\frac{d}{dx}$}_{\text{  }i,i} = 1$

$\fbox{$\frac{d}{dx}$}_{\text{  }i,i+1} = i$

geriye kalan butun girdiler ise sifir.

Ilginc bir durum var, bu matriks tersinebilir!

$\fbox{$\int dx$} \stackrel{?}{=}  \fbox{$\frac{d}{dx}$}^{\text{ }-1}$

Belki de yukaridaki ifade dogrudur?

Denemek adina $\int dx \text{ }x^3e^x $ ifadesini hesaplayalim

$\fbox{$\frac{d}{dx}$} = \left[
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]$

$\fbox{$\int dx$} = \left[
\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 2 & -6 \\
0 & 1 & -2 & 6 \\
0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
$

 

$\int dx \text{ }x^3e^x = \left[
\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 2 & -6 \\
0 & 1 & -2 & 6 \\
0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right] \left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{c}
-6 \\
6 \\
-3 \\
1 \\
\end{array}
\right] = -6 e^x + 6xe^x - 3x^2e^x+x^3e^x
$

Ise yaramis gibi gorunuyor ama sanki bir $+c$ vardi o nereye gitti ?

Hep ise yarar mi?

Boyle baska fonksiyon aileleri verebilir misiniz ?

Comments

Bu uzaydaki genel "integral" matriksi
https://oeis.org/A008279

su dizinin isaretlerinin alterne eden versiyonu

 

Answer 1

Bir pozitif $n\in\mathbb{N}$ için:

$V=\{e^x\sum_{i=0}^na_ix^i:a_i\in\mathbb{R}\}$ ise olur ($V=\{e^x\sum_{i=1}^na_ix^i:a_i\in\mathbb{R}\}$ ise olmaz: $e^x\notin V$).

$V=\{e^x\sum_{i=0}^{\infty:}a_ix^i:a_i\in\mathbb{R},\textrm{ sonlu tanesi dışında } a_i=0\}$ iken de olur.

(Bu uzayda, integralin tanımlanabildiğini görmek için, bazı özel durumlarda, Kısmi İntegrasyonun kısa formülünü hatırlayın.)

$V=\{a\sin x+b\cos x:a,b\in  \mathbb{R}\}$ iken de $\frac d{dx}$ 1-1 olur.

$V=\{a\sinh x+b\cosh x:a,b\in  \mathbb{R}\}$ iken de $\frac d{dx}$ 1-1 olur.

$V=\{\sum_{i=-n}^na_ix^{i\over2}:a_i\in  \mathbb{R},a_0=0,n\in\mathbb{N}^+\}$ iken de $\frac d{dx}$ 1-1 olur.

$V=\{e^x\sum_{i=-n}^na_i x^{i\over2}:a_i\in  \mathbb{R},a_0=0,n\in\mathbb{N}^+\}$ iken de $\frac d{dx}$ 1-1 olur (ama örten olmaz ve tersi (integral) tanımlanamaz).

Daha başka benzer uzaylar da oluşturulabilir.

İntegral tanımlayabilmek için (sonlu boyutlu ise) $V$ nin (0 dan başka) sabit içermemesi yeterli, çünki o zaman 1-1 (ve sonlu boyutlu olduğu için) örten oluyor, tersi (integral) tanımlanabilir.

Yukarıdaki örneklerde, sonuncusu hariç, sonsuz boyutlu olanlarda da integral (türev lineer operatörünün tersi  olarak) tanımlanabiliyor. Son örnekte bu imkansız.

Comments

Son örnekte integralin tanmlanamayacağı, eşdeğer olarak $\frac{d}{dx}$ in örten olmadığı, $\int \sqrt xe^x\,dx$ fonksiyonunun elementer olmayışından, veya daha basitçe, kısmi integrasyon deneyerek görülebilir.