Eşitler arası geçiş nasıl olmuş (2)

Question

$\dfrac {2\pi i}{1-e^{2\pi i\alpha }}\left( \dfrac {\left( ic\right) ^{\alpha }}{2ic}-\dfrac {\left( -ic\right) ^{\alpha }}{2ic}\right) = \dfrac {\pi c^{\alpha -1}}{1-e^{2\pi i\alpha }}( e^{i\dfrac {\pi }{2}}-e^{\dfrac {3\pi i}{2}}) =$ 

                                $(1)$                                      $(2)$    

$\dfrac {\pi c^{\alpha -1}\left( e^{-i\dfrac {\pi }{2}\alpha }-e^{i\pi \dfrac {\alpha }{2}}\right) }{e^{-i\pi \alpha }-e^{i\pi \alpha }}=\dfrac {\pi c^{\alpha -1}\sin \left( \dfrac {\pi \alpha }{2}\right) }{\sin \left( \pi \alpha \right) }=\dfrac {\pi c^{\alpha -1}}{2\cos \left( \dfrac {\pi \alpha }{2}\right) }$

               $(3)$

$2-3$ arası geçiş nasıl oluyor ?

$1-2$ arası geçişi anladım $i=e^{i\dfrac {\pi }{2}}$ yazıp düzenlemeler yapmış. 2-3 arası geçişinde yardımcı olabilir misiniz?

Comments

sorunun kötü gözüktüğünün farkındayım en kısa sürede düzenliyeceğim

---

Paydayı $\exp{(i\pi\alpha)}$ parantezine alıp, bu çarpanı yukarı atarsanız olur. Fakat daha önceki geçişte bir hata var. $i^{\alpha}=\exp{(i\pi\alpha/2)}$ olmalı. $\alpha$ çarpanı unutulunca geçiş de tutarsız gözüküyor tabii ki.

---

Okuduğun kaynağın sinüs fonksiyonunu nasıl tanımladığını yazabilir misin?

Eğer kuvvet serileri Cauchy integral formülünden sonra isteniyorsa, sinüs fonksiyonu direkt olarak $$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$ olarak tanımlanıyor olabilir. Bu eşitliğin $z$'nin reel sayı değerleri için doğru olduğunu göstermek kolay. Bundan hareketle bazı kaynaklar tanımı bütün kompleks sayılar için böyle veriyor. Eğer okuduğun kaynak bu yolu seçmiş ise 2-3 arası geçiş sinùs tanımından geliyor, $2i$'ler sadeleştirilmiş. 

---

Eğer sinüs fonksiyonu kuvvet serileri cinsinden tanımlanıyor ise ve verdiğim eşitliği kuvvet serileri kullanarak kanıtlamak çok zor değil..

Böyle hemen geçiş yaptığına göre mutlaka daha önce verdiğim eşitlikten bahsetmiştir. Ya tanımı öyle vermiştir ya da kuvvet serileri ile o eşitliği göstermiştir.

---

hocam soru aslında bir integral sorusu , reel integrali rezidü yardımı ile çözüyoruz.Rezidü hesaplama kısmında burası ile karşılaştım ve integralin sonucu reel bulmam gerekli.Ben 2.kısımda tıkandım ayrıca 2.kısmı yazarken eksikte yazmışım alfa kısmını.2-3 arası geçişinde duraksadım yapamadım

---

Ben yanlış geçiş hakkında konuşmuşum.

---

hocam ne önerirsiniz ?