$1-\frac{x^2}{4}=\text{cos}x$ denkleminin kökleri hakkında

Question

Gösteriniz ki, 

1- Bu denklemin en az bir gerçel kökü vardır,

2- Bu denklemin en az iki gerçel kökü vardır,

3- Bu denklemin en az üç gerçel kökü vardır,

Comments

İlk bakışta aradeğer teoreminden bulunur gibi görünüyor.

Answer 1

1) $x=0$ bir köktür. 

2) $1-\cos x=1-\left[\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right]=2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{x^2}{4}$ alınır. Buradan $$\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\frac{x}{2\sqrt 2}$$ buluruz. $\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ fonksiyonunun eğimi $x=0$ civârında $1/2$'dir. Pozitif ifâdeye odaklanalım. Sağdaki fonksiyonun, doğrunun, eğimi $\frac{1}{2\sqrt 2}<\frac{1}{2}$ eşitsizliğini sağlar. Dolayısıyla, sinüs eğrisini enaz bir $x=a$ noktasında keser. 

3) İfâde $x$'e göre çifttir. Dolayısıyla, 2'nci şıktaki $x=a$ noktasının simetriği olan $x=-a$ noktası da köktür. $x=0$ ile berâber 3 kök eder.

Answer 2

$$f(x) = \cos x + \frac{x^2}{4} - 1$$olsun. 

(1) $f(0) = \cos (0) + 0 - 1 = 0$. Demek ki, $f$ fonksiyonunun en az bir gercel koku var.

(2) Hem $\cos x$, hem de $\frac{x^2}{4}  - 1$ fonksiyonlari cift fonksiyonlar olduklari icin, $f(x)$ de cift fonksiyondur. Yani, her $x \in \mathbb{R}$ icin, $f(x) = f(-x)$. Bu da demek oluyor ki bir tane pozitif gercel kok bulabilirsek, bir tane de negatif gercel kok bulabiliriz.

(3) Ote yandan, fonksiyonumuz surekli bir fonksiyon. Ve $$f(\frac{\pi}{2}) = \cos (\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{16} - 1  = \frac{\pi^2}{16} - 1 < 0$$

$\cos(x)$ sinirli oldugu icin, $x$'i buyuk bir sayi alirsak, $f(x) > 0 $ oldugunu da gorebiliriz. Ornegin,

$$f(10) = \cos (10) + 25 - 1 = 24 + \cos (10) > 0$$ O halde, ara deger teoreminden, fonksiyonumuzun $(\frac{\pi}{2}, 10)$ araliginda bir koku olmasi gerekir. Demek ki bir pozitif kok var. (2) 'den dolayi bir de negatif kok var. Toplamda en az 3 kokun varligini gostermis olduk.

Comments

13 dakika gec kalmisim.