Limit sorusu 3.öncül neden her zaman doğru değil

Question

P: limX¬X0  f(x) = lim X ¬ X0 g(x) 

Q: lim x¬x0 (f(x) - g(x)) = 0

R: limx¬x0 f(x) /g(x) = 1

Buna göre hamgileri her zaman doğrudur 

1. P ise Q               2. P ise R                 3. R ise Q

Cevap: yalnız 1

3.öncül daima doğru değil midir aksine örnek nedir

Comments

Basit bir 0/0 örnegi alabilirsin. 

---

Fakat 0/0 belirsizliği için de sağlamaz mı f(x) /g(x) =1 iken f(x) = 0 ve g(x) =0 dır belirsizlik giderilince bölüm 1 gelir ve farkları da 0 yapar

---

Bu soru Orta Öğretim kategorisine ağır olmuş.

Sadece Limiti (sayı) olmayan fonksiyonlar şeklinde örnek bulunabilir.

---

Pardon. Yanlis demisim. $g$nin limiti varsa (makul bir civarda) $f=(f/g)\cdot g$ geregi $f$nin limiti $g$ninkine esit olur.

Bu nedenle Dogan hocanin dedigi gibi bir duruma bakmak gerekiyor. 

---

Bu direkt ornek degil fakat bi donusum ile limiti $x\to 0^+$ oradan da $x\to 0$ yapabilirsin. 
\[\lim_{x\to \infty}\frac{x+1}{x}=1\]

Answer 1

Bir $b$ sabit fonksiyonu icin $f=g+b$ olarak tanimlayalim. $\lim_{x\to a}g(x)=\pm \infty$ oldugunda $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim_{x\to a}(f(x)-g(x))=b$$ saglanir.

Comments

Teşekkür ederim

Answer 2

Cevap doğru ama basit bir örnek  bulmak kolay değil. Yorumda da belirttiğim gibi, sadece, limiti sayı olmayan örnekler bulunabilir.

Bir örnek: 

$a=0,\ f(x)=\frac1{x^2},\ g(x)=\frac{\cos x}{x^2}$ olsun.

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac1{\cos x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$ olur (Son limit standart bir sorudur)

Comments

Teşekkür ederim 

---

Peki acaba genelleyerek bu ifadenin yanlışlığına ulaşabilir miydim yani aksine bir örnek düşünmeden bu ifadenin yanlış olduğunu nasıl anlayabilirdim. Mesela siz bu örneğe hangi düşünce doğrultusunda ulaştınız