Sabit fonksiyon periyodik midir?

Question

Şurda periyot kavramının tanımı açıklanmış. Tam olarak kafama yatmadı ama.. Belki anlayamamışımdır.... (aslında cevap veren hocam tanımı bir ortaöğretim öğrencisinin anlayabileceği kavramlar şeklinde anlatırsa çok sevinirim) 

Sorum şu, sabit fonksiyon periyodik olabilir mi? Sonsuz küçük noktalar halinde tekrar ediyor diye algılayabiliyorum. Ama bunu kabul edersem de her fonksiyonun periyodu vardır önermesi doğru olur. (Belki de doğrudur?).

Tanımda T=0 alınınca ne oluyor görelim,

$ f(x)=f(x+0)=f(x+0+0)=f(x+0+0+...+0) \\ f(x) =f(x) =f(x) =.... =f(x) $

Bu koşulu ancak ve ancak sabit fonksiyon-lar sağlar. (?)

Yani sorum şuna dönüştü, T=0 alınabilir mi?

-Eğer tanımda T=0 alınamıyorsa neden öyle tanımlanmış? Eğer öyle olmasaydı ne gibi sorunlar çıkardı? (Matematikçiler bir tanım yaparken tutarlı yapmaları gerekir, her tümcenin altında bir neden yatmalı, sırf kafalarına öyle esti diye tanımlamalar diye düşünüyorum) 

Comments

Buradaki linkte yer alan bilgilerde nereye takıldın?

---

Merhaba @murad.ozkoc hocam. Gecikme için özür dilerim ancak ulaşabildim.

İlk olarak orda A kümesi neden var? Üstten ve alttan sınırsız olan reel sayıların alt kümesi demişsiniz, bu zaten reel sayıların kendisi değil mi? Bildiğim kadarıyla reel sayılarda tamlık olayı denen bir olay var. Bunları göz önünde tutarsak, tamam reellerde sağlar bu ama en basitinden sinüs fonksiyonun için reel sayılardan reel sayılara (-1 ile 1 aralığı) o koşul gereksiz, zira sinüs için periyottan bahsedemeyiz.

İkinci olarak öyle bir T var ise her x için f(x+T) =f(x) tir. Bu önermeye bakacak olursak sağ taraf her zaman doğrudur. T=0 alırsak her f(x+0)=f(x) olacağından ötürü f, periyodiktir, f'den bağımsız olarak. Dolayısıyla tüm fonksiyonlar periyodik olmuş olur. O halde madem tüm fonksiyonlar sağlayacak neden özel olarak periyodik fonksiyonlar diye bir fonksiyon grubu tanımlansın ki? 

---

@murad.ozkoc hocam bir yanlışım varsa düzeltirseniz sevinirim 

---

Son paragrafta yaptığın açıklamalarda haklısın. Periyodik fonksiyon tanımını verdiğim linkte, tanımı tekrar düzenledim. Bu bir. İkincisi Gerçel sayılar kümesinin alttan ve üstten sınırsız bir altkümesi gerçel sayılar kümesi olması gerekmez. Örneğin $$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}$$ kümesi alttan ve üstten sınırsız fakat $$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\neq\mathbb{R}.$$

Answer 1

Periyodik fonksiyon birçok kaynakta f(x)=f(x+T) koşulunu sağlayan pozitif bir T reel sayısının bulunabildiği fonksiyonlardır şeklinde tanımlanır. Sabit fonksiyonlar, her pozitif T reel sayısı için bu şartı sağladığından periyodik fonksiyonlardır. Ancak bir fonksiyonun periyodu, (bulunabiliyorsa) bu pozitif T reel sayılarının en küçüğüdür. Dolayısıyla sabit fonksiyon için böyle bir reel sayı (pozitif reel sayıların en küçüğü) bulunamayacağından periyodu yoktur. Buradan şu sonuç da çıkar: Periyodik olan fakat periyodu belli olmayan fonksiyonlar mevcuttur.