Her $x\in \mathbb{R}$ için $m\leq x<m+1$ olacak biçimde $m\in \mathbb{Z}$ vardır. Alternatif ispat?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
46 kez görüntülendi

Teorem: Her $x\in \mathbb{R}$ için $m\leq x<m+1$ olacak biçimde $m\in \mathbb{Z}$ vardır.

Bu teoremin standart ispatında reel sayıların supremum özelliği kullanılıyor. Benim sorum şu: Alternatif bir ispat bulmaya çalıştım, yöntemimin yanlış olduğunu tespit ettim. Ama nerede hata yaptığımı bulamıyorum. Şöyle ki teoremin ifadesinin değilini alıp yanlış olduğunu göstermeye çalışıyorum.

Yani $\exists x_0 \in \mathbb{R}$ öyle ki $\forall m\in \mathbb{Z}$ için

$$x_0<m \qquad\text{veya}\qquad m+1\leq x_0$$

dır. Her $m\in\mathbb{Z}$ için $x_0<m$ olması $\mathbb{Z}$ nin sınırsız olması ile çelişir, çünkü $x_0$ ile alttan sınırlı demektir bu ifade. Yine her $m\in\mathbb{Z}$ için $m+1\leq x_0$ olması da $\mathbb{Z}$ nin $x_0-1$ ile üstten sınırlı olması demek olup yine yanlıştır. Sonuç olarak bu ifade yanlış olup teoremin ifadesi olan önerme doğrudur. Şimdi yanlışım nerede?

Teşekkürler şimdiden.


27, Aralık, 2017 Lisans Matematik kategorisinde parafin (31 puan) tarafından  soruldu

$x_0<m$ veya $m+1\leq x_0$ önermelerinden her $m$ için aynı önerme doğru olmak zorunda değil. 

Bazan birincisi, bazan ikincisi doğru olabilir.

  Her ikisi de yanlıştır şeklinde buldum. Acaba önermenin değilini mi yanlış aldım? Biraz daha açar mısınız?

Bir örnek vereyim.

Her $x\in\mathbb{R}$ için ($x<0$ veya $x\geq0$)

ile

(Her $x\in\mathbb{R}$ için $x<0$) veya (Her $x\in\mathbb{R}$ için$x\geq0$)

önermeleri eşdeğer değil.

Şimdi anlaşıldı, değilini yanlış almışım yani. Teşekkür ederim hocam

...