Her $x\in \mathbb{R}$ için $m\leq x<m+1$ olacak biçimde $m\in \mathbb{Z}$ vardır. Alternatif ispat?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
83 kez görüntülendi

Teorem: Her $x\in \mathbb{R}$ için $m\leq x<m+1$ olacak biçimde $m\in \mathbb{Z}$ vardır.

Bu teoremin standart ispatında reel sayıların supremum özelliği kullanılıyor. Benim sorum şu: Alternatif bir ispat bulmaya çalıştım, yöntemimin yanlış olduğunu tespit ettim. Ama nerede hata yaptığımı bulamıyorum. Şöyle ki teoremin ifadesinin değilini alıp yanlış olduğunu göstermeye çalışıyorum.

Yani $\exists x_0 \in \mathbb{R}$ öyle ki $\forall m\in \mathbb{Z}$ için

$$x_0<m \qquad\text{veya}\qquad m+1\leq x_0$$

dır. Her $m\in\mathbb{Z}$ için $x_0<m$ olması $\mathbb{Z}$ nin sınırsız olması ile çelişir, çünkü $x_0$ ile alttan sınırlı demektir bu ifade. Yine her $m\in\mathbb{Z}$ için $m+1\leq x_0$ olması da $\mathbb{Z}$ nin $x_0-1$ ile üstten sınırlı olması demek olup yine yanlıştır. Sonuç olarak bu ifade yanlış olup teoremin ifadesi olan önerme doğrudur. Şimdi yanlışım nerede?

Teşekkürler şimdiden.


27, Aralık, 2017 Lisans Matematik kategorisinde parafin (33 puan) tarafından  soruldu

$x_0<m$ veya $m+1\leq x_0$ önermelerinden her $m$ için aynı önerme doğru olmak zorunda değil. 

Bazan birincisi, bazan ikincisi doğru olabilir.

  Her ikisi de yanlıştır şeklinde buldum. Acaba önermenin değilini mi yanlış aldım? Biraz daha açar mısınız?

Bir örnek vereyim.

Her $x\in\mathbb{R}$ için ($x<0$ veya $x\geq0$)

ile

(Her $x\in\mathbb{R}$ için $x<0$) veya (Her $x\in\mathbb{R}$ için$x\geq0$)

önermeleri eşdeğer değil.

Şimdi anlaşıldı, değilini yanlış almışım yani. Teşekkür ederim hocam

Doğan hocamın yanıtına ilave olarak şunları ekleyeyim:

$$p(x): ``x, \text{ tektir}"$$ ve $$q(x): ``x, \text{ çifttir}"$$ açık önermelerini ele alalım. Bu açık önermelerin konu evreni $\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi olsun. Şimdi şu iki önermeye göz atalım.

$$\forall x (p(x)\vee q(x))\ldots (1)$$ ve $$\forall x p(x) \vee \forall x q(x)\ldots (2).$$ $(1)$ nolu önerme doğru olmasına karşın $(2)$ nolu önerme doğru değildir. Ayrıca $(2)$ nolu önermenin doğru olması, $(1)$ nolu önermenin de doğru olmasını gerektirir. Yani 

$$(\forall x p(x) \vee \forall x q(x)) \Rightarrow \forall x (p(x)\vee q(x))$$ fakat karşıtı her zaman doğru değildir. Yukarıda gerek Doğan hocanın gerekse de benim verdiğim örneklerde olduğu gibi. Dolayısıyla

$$(\forall x p(x) \vee \forall x q(x))\not\equiv \forall x (p(x)\vee q(x)).$$

Bu örnek daha da anlaşılır oldu. Teşekkür ederim hocam.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Her $x\in\mathbb{R}$ sayısı için $$m:=\min \{k|(x<k)(k\in\mathbb{Z})\}-1$$ seçilirse $$m\leq x<m+1$$ koşulu sağlanır. $$\{k|(x<k)(k\in\mathbb{Z})\}\subseteq\mathbb{Z}$$ kümesi tamsayılar kümesinin alttan sınırlı bir altkümesidir. Tamsayılar kümesinin de alttan sınırlı her altkümesinin minimumu vardır (Neden?).

12, Şubat, 12 murad.ozkoc (8,886 puan) tarafından  cevaplandı
13, Şubat, 13 parafin tarafından seçilmiş

iyi sıralama ilkesi

Evet. Aynen dediğin gibi.

...