Simetrik mutlak değerli denklemlerde $x_0$ bir kök ise $-x_0$ de bir köktür, ispatlayınız....

0 beğenilme 0 beğenilmeme
46 kez görüntülendi

Merhabalar,

$\text{Teorem}$ $$|x-a|+|x-b|+|x-c|+\cdots+|x+c|+|x+b|+|x+a|=c$$ $c$ sabit. Şeklindeki simetrik denklemlerde eğer $x_0$ bir çözüm ise $-x_0$ da bir çözümdür. 

$\text{İlginç Örnek (çok da değil gerçi)}$

$|x-10|+|x-9|+\cdots+|x+9|+|x+10|=c$ denkleminin tek kökü vardır. Buna göre $c$ sabitini bulunuz. 

$\text{Çözüm}$

Eğer $x_0$ bir kök ise $-x_0$ da bir köktür. Ve eğer tek kök varsa $x_0=-x_0$ buradan $2x_0=0\implies x_0=0$ olmalıdır. Buna göre mutlak değerli ifadeleri açarsak $$(10+9+8+7+6+5+\cdots+1+0)+(0+1+2+\cdots+8+9+10)$$ $$=2\dfrac{10\cdot11}{2}=110=c$$ bulunur. 

**)Teoremi ispatlayınız (**

1, Kasım, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  soruldu

Burada bir yazi yazmistim. Daha iyi bir hale getirecegim ama senin bircok soruna cevap verebilir. 

Teoremin ispati: $$|-x-a|+|-x+a|=|x+a|+|x-a|=|x-a|+|x+a|$$ oldugundan fonksiyon cift fonksiyondur.

Yazınız ilaç gibi geldi. Teşekkür ederim:)

Bu durumun, her çift fonksiyon ve her tek fonksiyon için doğru olduğunu göstermek daha kolay olur.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Egimlerin sirasiyla $-21$ ile baslayip her kok uzerinden atladiginda $2$ arttigini gormek zor degil. Dolaysiyla minimum degerini solunda $-1$ ve saginda $+1$ egimi olan kokte yani $0$'da alir. Kollar asagiya gidip yukariya yukseliyor ve limitler sonsuza gidiyor. Dolayisiyla diger her deger icin tam olarak iki kok var. Bu kokler sifira gore simetrik. 

1, Kasım, 2017 Sercan (23,703 puan) tarafından  cevaplandı
1, Kasım, 2017 Deniz Tuna Yalçın tarafından seçilmiş
...