P asal sayı olmak üzere kök p sayısının irrasyonel sayı olduğunu ispatlayınız - Matematik Kafası

P asal sayı olmak üzere kök p sayısının irrasyonel sayı olduğunu ispatlayınız

0 beğenilme 0 beğenilmeme
170 kez görüntülendi

Olmayan ergi yöntemiyle , kök p yi rasyonel kabul ederiz

Q=a\b          a\b = aralarında asaldır 

Kök P = a\b 

P = a.a\b.b

P asal old. için a nın karesi P' ye , b nin kareside 1 e eşittir

Gerisini yapamadım belkide buraya kadar da yanlış yapmış olabilirim , 

26, Ekim, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Furkan Erkan (20 puan) tarafından  soruldu
26, Ekim, 2017 Deniz Tuna Yalçın tarafından yeniden kategorilendirildi

$\sqrt{2}$ sayısının rasyonel olmadığının ispatını hatırlıyor musun? 

$a^2=p$ oldu, lakin $p$ asaldir. Çelişki!

($a\neq 1$ de var tabi burada)

Doğru söylüyorsunuz ispat aslinda, açıklamada tamamlanmıştı.Sağolun

"P asal old. için a nın karesi P' ye , b nin kareside 1 e eşittir" iddiasının açıklanması gerkir.

Bu soruya bakabilirsiniz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$p$ asal bir sayı olsun, bildiğimiz üzere asallik tamsayılar için konuştuğumuz bir konu şimdi $$\sqrt{p}=\dfrac{a}{b}\quad,(a,b)=1$$ diyelim. Yani $\dfrac{a}{b}$ sadeleşmiş bir kesir ve rasyonel bir sayı. Karesini alalım;$$p=\dfrac{a^2}{b^2}$$ şimdi şu soruyu soralım asal bir tamsayı herhangi bir sayının karesi olabilir mi? Olduğunu kabul edelim, tanım gereği asal sayılar çarpanları yalnızca kendilerinden 1 den oluşan sayılar, eğer tamkareyse iki tane aynı sayının çarpımı olarak yazılabilir, çünkü sonuçta $p\neq\dfrac{a}{b}$ bu da tanıma ters düşer, ikincisi ise asallığı tamsayılar için konuşmamız, eğer $(a,b)=1$ ise $b^2\not\mid a^2$ bu da zaten tamsayı bile olmadığı anlamına gelir. Tamsayı olmaması da asallığın konuşulmayacağı... Buraya kadar $b\neq 1$ olan sayılar için denedik eğer $b=1$ olursa gerçekten $(a,b)=1$ ve $p=a^2$ olur.Lakin asal sayilarin kendileri ve 1 dışında  bir çarpanı yoktur tanım  gereği, yani kabulümüz yanlıştır. $p=a^2$ de olamaz . (Sonuç olarak kabulümüz yanlıştır, asal bir sayı kök içinde tamkare ve muadili dereceli bir tamsayı değildir ve dolayısıyla kökü rasyonel değildir)


27, Ekim, 2017 Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  cevaplandı

Teşekkür ederim.

Rica ederim, kolay gelsin:)

"tanım gereği asal sayılar çarpanları yalnızca kendilerinden 1 den oluşan sayılar, eğer tamkareyse iki tane aynı sayının çarpımı olarak yazılabilir, çünkü sonuçta $p\neq\frac ab$ bu da tanıma ters düşer, ikincisi ise asallığı tamsayılar için konuşmamız" de eksik bir nokta var. $\frac ab$ tamsayı değil o nedenle asallık burda işe yaramaz.

Şöyle yapılabilir:

$a^2p=b^2$ olur. $p$ sol tarafı böldüğü için $b^2$ yi böler. $p$ asal olduğu için $b$ yi böler (burada her doğal sayının asalların çarpımı olarak tek şekilde yazılışı kullanılıyor). $b=pc\quad(c\in\mathbb{Z})$ olsun. $a^2p=p^2c^2$ olur. $p$ leri kısaltıp $a^2=pc^2$ elde ederiz. Biraz önceki aynı argüment ile $p$, $a$ yı da böler. Çelişki.

Teşekkür ederim hocam

Doğan hocam ben bu şekilde anladım.Sizce İspatım doğrumu ?


Kök P yi rasyonel olarak kabul edelim.

Kök P = a\b

P =a.a\b.b

P asal old. için, P nin bölenlerinin a.a\b.b ve 1 olması gerekir.

Ancak P= a.a\b.b eşitliğinde P nin bölenleri a\b , a.a\b.b ve 1 dir.

5. Satırda yazdığım 4. Satırdaki ile Çelişir.

Bu çelişkinin sebebi ise Kök P yi rasyonel sayı olarak kabul edip.a\b şeklinde yazmamızdan kaynaklanır. 

Kök P rasyonel değildir. Rasyonel Olmayan sayılara İrrasyonel sayı denir.

Kısaca 

$5=\frac{10}3\frac32$ ama $\frac{10}3\neq1$ , $\frac{10}3\neq5$, $\frac32\neq1$ ve $\frac32\neq5$

Asallığı kullanabilmek için çarpılan sayılar TAMSAYI olmalı.

...