$|x-2|>|x+1|$ mutlak değerli eşitsizliğin çözüm kümesi?

Question

$|x-2|>|x+1|$ ifadesinin cozum kumesi

Bu soruyu hoca derste çözdü fakat onun çözümünde her iki tarafın karesini alıp mutlak değerden kurtarıp yapmış anlamadim

Bende dedim tablo yaparak cozeyim ama işin içinden çıkamadım burda tabloyu cizemicem için foto aticam Doğan hocam kapatma lütfen hocam :)hocalarim birde hangi zamanlar veya neye göre tablo yapmam lazım mesela

İki mutlak değerli ifade birbirine eşitse bir pozitiflisini bi negatiflisini yapınca çıkıyor ama

$|x-3|=|x|-3$ gibi bir ifadede neden bir pozitifine bir negatifine esitletince çıkmıyor bide bunu açıklarsanız sevinirim hocalarim

Comments

Resimde $(1/2)=x$ yazmışım orası $(1/2)>x$ olacak kusura bakmayın yanlış yazmışım düzelttim hocalarim

---

Mutlak değerli ifadelerin içlerini sıfırlayan değerleri(kökleri) $x=-1, x=2$  olarak bulmuşsunuz. Bu adım doğru. Sonra bu kökleri sayı doğrusuna küçükten büyüğe doğru yerleştirmişsin. Bu adımda güzel. Sayı ekseni üç farklı aralığa bölünmüş oldu. Sonra değişkenin en soldaki aralıkta olduğu varsayımına göre işlemlere başlamışsın. Bu adımda doğru. fakat mutlak değerden yanlış çıkarmışsın. Dolayısıyla işin başında hata yapmışsın.

1) $x<-1$ iken;

$|x-2|=-(x-2)-x+2$ olmalı ve $|x+1|=-(x+1)=-x-1$ olmalıydı. Bu değerleri eşitsizlikte yerine yazarsanız
$-x+2>-x-1\rightarrow 2>-1$    gibi her zaman doğru olan bir sonuç buluruz. Yani $-1'$den küçük her $x$ eşitsizliği doğru kılar.

2)  ikinci aralığa geçince, $-1\leq x<2$ almalısın.Hem $-1'$i  hem de $2'$yi dahil edemezsiniz. Daima aralıkların sol ucunu  katarak yol almalısın. Bu aralıkta $|x-2|=-x+2$  ve $|x+1|=x+1$ olduklarından $-x+2>x+1\rightarrow x<\frac 12$ olur. Demek ki bura aralıkta da çözüm $-1\leq x<\frac12$ dir.

3) Son aralığı $2\leq x$ olarak almalıyız. Dikkat edersen aralıkların sol uçlarını dahil ederek ilerledik. Böylece bütün sayı eksenini tarayarak yol almış oluyoruz. Bu kabul altında yani  ( $2\leq x$ kabulünde) eşitsizlik;
$|x-2|=x-2,|x+1|=x+1$ den dolayı $x-2>x+1\rightarrow -2>1$ gibi daima yanlış olan bir sonuç elde ederz. Yani bu aralıktaki hiçbir $x$ işimize yaramaz.  Demek ki eşitsizliğin çözüm kümesi ...?.....  imiş.

---

Bir başka bakış açısı da şu olabilir: $|a-b|$ ifadesi sayı doğrusu üzerinde $a$ ile $b$ arasındaki mesafe demek. Dolayısıyla $|x-2|$ demek $x$ ile $2$ arasındaki uzaklık demek ve aynı şekilde $|x+1|$ ya da başka bir deyişle $|x-(-1)|$ demek de $x$'in $-1$'e uzaklığı demek.

Dolayısıyla soru senden $2$'ye olan uzaklığı $-1$'e olan uzaklığından daha büyük olan sayıları bulmanı istiyor. Yine bir başka deyişle sayı doğrusu üzerinde hangi sayılar $-1$'e daha yakındır?

Sayı doğrusu üzerine $-1$ ve $2$'yi yerleştir.

Şimdi, $-1$'in solundaki sayılar daha $-1$'e daha yakındır, bu Mehmet Toktaş'ın birinci adımı.

Ikinci olarak $-1$ ile $2$ arasına bak. Tam ortasındaki sayı $1/2$. Eğer $1/2$'nin solundaysa $-1$'e yakınsın, sağındaysa $2$'ye. Bu da Mehmet Toktaş'ın ikinci adımı.

Üçüncü adım olarak da $2$'nin sagina bakıyorsun. Ama buradaki sayıların hepsi $2$'ye daha yakın.

Demek ki aradığım sayılar $1/2$'nin solundaki, yani $1/2$'den küçük sayılar

Yani soru aslına bakacak olursan biraz Türkçe sorusu gibi de görülebilir.