İntegralde leibniz kuralları için geçişlerin tam bariz olmaması.

Question

Soru 1:

$a,b\in\mathbb R$  olmak üzre;

$\underbrace{\displaystyle\int_{f(a)}^{f(b)}h(x)dx}_{(1)}=\underbrace{\displaystyle\int_{a}^{b}h(f(u))f'(u)du}_{(2)}$

$(1)$ 'den $(2)$'ye geçiş hangi şartlarda mümkündür? Geçişin hep sağlanmadığı ters örnekler bulalım.

 


Ana soru:

$\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_{g(x)}^{f(x)}h(x)dx\right)}_{(1)}=\underbrace{h(f(x))f'(x)-h(g(x))g'(x) }_{(2)}$

Buradaki $f$ ve $g$ fonksiyonları hangi şartları sağlamalı ki bu $1$'den $2$'ye geçiş sağlansın.
 

Soruların amacı bu geçişlerin çook çok bariz olmadığını göstermektir.

Comments

Önce düzeltme:

Soru 1 de, sağ taraf $\int_a^bh(f(u))f'(u)\,du$ olmalı. 

Ana soruda, sağ taraf $h(f(x))f'(x)-h(g(x))g'(x)$ olmalı.

Cevap:

("Uygun" bir aralıkta) $h$ sürekli, $f$ ve $g$ türevlenebiliyor ise geçerli.

Uygun aralık:

Türevin alınacağı bir $a$ sayısı seçelim.

$f(a)$ ve $g(a)$ yı içeren bir açık aralıkta $h$ sürekli ve $f$ ve $g$,  $a$ da türevlenebiliyor olmalı.