İntegralde leibniz kuralları için geçişlerin tam bariz olmaması.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
828 kez görüntülendi

Soru 1:

$a,b\in\mathbb R$  olmak üzre;

$\underbrace{\displaystyle\int_{f(a)}^{f(b)}h(x)dx}_{(1)}=\underbrace{\displaystyle\int_{a}^{b}h(f(u))f'(u)du}_{(2)}$


$(1)$ 'den $(2)$'ye geçiş hangi şartlarda mümkündür? Geçişin hep sağlanmadığı ters örnekler bulalım.

 


Ana soru:

$\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_{g(x)}^{f(x)}h(x)dx\right)}_{(1)}=\underbrace{h(f(x))f'(x)-h(g(x))g'(x) }_{(2)}$

Buradaki $f$ ve $g$ fonksiyonları hangi şartları sağlamalı ki bu $1$'den $2$'ye geçiş sağlansın.
 

Soruların amacı bu geçişlerin çook çok bariz olmadığını göstermektir.

27, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil B.C.T. (7,737 puan) tarafından  soruldu
29, Aralık, 2016 Anil B.C.T. tarafından düzenlendi

Önce düzeltme:

Soru 1 de, sağ taraf $\int_a^bh(f(u))f'(u)\,du$ olmalı. 

Ana soruda, sağ taraf $h(f(x))f'(x)-h(g(x))g'(x)$ olmalı.

Cevap:

("Uygun" bir aralıkta) $h$ sürekli, $f$ ve $g$ türevlenebiliyor ise geçerli.

Uygun aralık:

Türevin alınacağı bir $a$ sayısı seçelim.

$f(a)$ ve $g(a)$ yı içeren bir açık aralıkta $h$ sürekli ve $f$ ve $g$,  $a$ da türevlenebiliyor olmalı.

...