Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.1k kez görüntülendi
>Eğer n>0,nN ve nπc(n+1)π ise (n+1)πnπsin2(x)dx=(1)nc'yi kanıtlayın. c, \quad nπ ve (n+1)π aralığında bir c değerini simgeliyor. [Matematik Dünyası]

Aşağıdaki teoremi uygulamaya çalıştım:

1babaf(x)dx=f(c)
Ve

1((n+1)πnπ)(n+1)πnπsin2(x)dx=f(c)

Sonuç gelmedi, ben de aşağıdaki teoremi kullandım

baf(x)g(x)dx=f(c)bag(x)dx

Dedim ki, sin(x)=f(x)=g(x) olsun.

(n+1)πnπsin2(x)dx=sin(c)(n+1)πnπsin(x)dx=sin(c)(cos|(n+1)πnπ) Sonrası gelmedi.Daha sonra

(n+1)πnπ|sin2(x)|dx(n+1)πnπ|x2|dx'yi kullandım ama onunla da bir yere varamadım. Hatta x2 yerine x yazdım (x'ler pozitif olmak zorunda) ama oradan da bir yere varamadım. Yardımcı olursanız çok makbule geçer. Teşekkürler.
Lisans Matematik kategorisinde (129 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.1k kez görüntülendi
Sorunun böyle olduğuna emin misiniz?

sin(x2) olmasın?
Hocam dergide yazdığı gibi yazdım.
Dergideki aynen yazımı benim yazdığımla aynı diye biliyorum: sin(x)2
(n+1)πnπsin2(x)dx integralinin negatif  olabilir mi?
Hocam kendi içinde mutlak değer ihtiva ediyor olamaz diye düşünüyorum o yüzden son eşitsizliği yazabilmiştim. Bu arada hocam sorunun orijinalinde sinx^2 diye yazmış bilerek LATEX olarak yazmadım. Sanırım dediğiniz gibi olacak ama sin(x2) diye bir antitürev mevcut değil, öyle değil mi?

Ek:Fotoğrafını paylaşmaya karar verdim.

2. Ek:Başaramadım.
Hemen hemen herkes, (sinx)2 yerine, kısaca sin2x olarak yazar. (Edit: kerkes->herkes)

O nedenle.

sinx2 yazılınca, (sinx)2 olmadığı düşünülerek) sin(x2) anlaşılır.
Hocam eğer sin(x2) ise işlerimiz daha da zorlaşmıyor mu? Bir de sin(x2) ile denedim ama analitik olmadığı için seriler işin içine girdi, dolayısıyla hiçbir yere varamadım.
g(x)=sinx2 olsun. Sen uygun bir f(x) bulup o formülü kullanabilirsin.
Hocam sinx2 dediysek f(x)=1 olmaz mı?

@Arda Kılıç,

Önce

".. ise baf(x)g(x)dx=f(c)bag(x)dx...." 

teroeminin ifadesini eksiksiz yazar mısın.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

(soruda sözü edilen) Teorem:

a<b, a,bRg, [a,b] aralığında integrallenebilen, (a,b) aralığında işaret değiştirmeyen bir fonksiyon ve f, [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon ise, 

baf(x)g(x)dx=f(c)bag(x)dx olacak şekilde (en az) bir c[a,b] sayısı vardır.

Şimdi a=nπ, b=(n+1)π, f(x)=x, g(x)=sinx2 olsun.

Teoremin hipotezinin sağlandığı açıkça görülmektedir. Öyleyse:

(n+1)πnπxsinx2dx=c(n+1)πnπsinx2dx

olacak şekilde (n ye bağlı) bir c[nπ,(n+1)π] sayısı vardır.

Belirli İntegrallerde Değişken Değiştirme Teoreminden (oradaki hipotez de sağlanıyor),

(n+1)πnπxsinx2dxu=x2=12(n+1)πnπsinudu=12(cosu)|(n+1)πnπ=12((1)n(1)n+1)=(1)n

bulunur. Yukarıdaki eşitlikte yerine konulursa:

(1)n=c(n+1)πnπsinx2dx

Düzenlenirse (c0 olduğu için):

Bir c[nπ,(n+1)π] için, (n+1)πnπsinx2dx=(1)nc olduğu elde edilir.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
0sinx2dx integralinin yakınsaklığı ile ilgili de konuşmak mümkün.
Çok teşekkürler hocam.
@Sercan hocam sanırım her x değeri için yakınsıyor.

Su sorudaki cevabinizin altinda Ozgurun yaptigi yorumu cevaplarsaniz haklisiniz evet (sanirim)

Hangi sorudan bahsediyorsunuz?
Elementer (Analitik) olmayan bir integral adli soru. Aslinda link var tiklayabilmelisiniz yorumumdaki (su sorudaki cevabinizin) ustune gelirsenuz
sin(x2)'nin yakınsak olduğunu nasıl anlayabildiniz ?
@eloi dediğiniz sorudaki cevap kısmını söylüyorsunuz sanırım. Ben tamamen unutmuşum orayı, bildirimleri de gelmedi. Şimdi baktım ama bir typo olduğunu fark ettim. İntegral ve serinin yerini değiştirme gibi bir şey yapmayacaktım(yapılıyorsa da bilmiyorum). Şimdi değiştireceğim.
@sametoytun yakında yorum olarak ekleyeceğim denememi.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,898 kullanıcı