(soruda sözü edilen) Teorem:
a<b, a,b∈R, g, [a,b] aralığında integrallenebilen, (a,b) aralığında işaret değiştirmeyen bir fonksiyon ve f, [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon ise,
∫baf(x)g(x)dx=f(c)∫bag(x)dx olacak şekilde (en az) bir c∈[a,b] sayısı vardır.
Şimdi a=√nπ, b=√(n+1)π, f(x)=x, g(x)=sinx2 olsun.
Teoremin hipotezinin sağlandığı açıkça görülmektedir. Öyleyse:
∫√(n+1)π√nπxsinx2dx=c∫√(n+1)π√nπsinx2dx
olacak şekilde (n ye bağlı) bir c∈[√nπ,√(n+1)π] sayısı vardır.
Belirli İntegrallerde Değişken Değiştirme Teoreminden (oradaki hipotez de sağlanıyor),
∫√(n+1)π√nπxsinx2dxu=x2=12∫(n+1)πnπsinudu=12(−cosu)|(n+1)πnπ=12((−1)n−(−1)n+1)=(−1)n
bulunur. Yukarıdaki eşitlikte yerine konulursa:
(−1)n=c∫√(n+1)π√nπsinx2dx
Düzenlenirse (c≠0 olduğu için):
Bir c∈[√nπ,√(n+1)π] için, ∫√(n+1)π√nπsinx2dx=(−1)nc olduğu elde edilir.