Leibniz integrali için, limiti içeri alma problemi.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
43 kez görüntülendi

İlk olarak şu eşitliği göstermek istiyoruz;


$$\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\;dy\right)=\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f_x(x,y)\;dy$$


Dolayısıyla ,türevin limit tanımını kullanalım;


$$\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\;dy\right)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x+h,y)dy-\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)dy}{h}$$


$$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}(f(x+h,y)-f(x,y))dy}{h}$$



$$=\lim\limits_{h\to0}\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}dy$$


Ama olay burada patlak veriyor, limiti öylece içeri alabilir miyiz?



$$=\lim\limits_{h\to0}\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}dy=\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}\left(\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\right)dy$$


İçeri alabilirsek zaten istediğimiz sonucu buluyoruz ama neden ve nasıl?


$$=\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f_x(x,y)dy$$


Bu limiti içeri nasıl dağıtırım?


Genelleştirmek gerekirse, aşağıdaki durum için gereklilikleri veriniz.


$\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(\lim\limits_{x\to a} x)$


7, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (6,713 puan) tarafından  soruldu
...