Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
971 kez görüntülendi

R sonlu bir halka ve 1R. Gosteriniz: R'nin tum elemanlari R'nin sifir boleni (zero divisor) ya da birim elemanidir (unit).

R sonlu ve 1R icin bilginiz varsa ve paylasirsaniz sevinirim.

Lisans Matematik kategorisinde (25.5k puan) tarafından  | 971 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

aR sıfır bölen olmasın. f:RR,f(x)=xa olsun. a nın sıfır bölen olmayışından, f 1-1 olur. R sonlu olduğundan f örtendir. Dolayısıyla f(b)=ba=1 olacak şekilde bir bR vardır. Sercan ın diğer probleminden (veya g:RR,g(x)=ax dönüşümünü kullanarak) b, a nın tersidir.

R de birim eleman yoksa: 

a sıfır bölen değilse, (aynı ispat ile) her bR için ax=b ve xa=b denklemlerinin (tek) çözümü vardır.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Eğer 1R ise tersinir elemanlardan bahsedemeyiz. Yani soru anlamsız.

Eğer sonlu bir halkada 1 elemani yoksa, o zaman tüm elemanlar sıfırbölendir. Sıfırbölen olmayan bir r elemani alın, çelişki bulacağız.

Halkanın elemanlarını soldan r ile çarpmak birebir (ve dolayısıyla örten) bir fonksiyon belirler: de ki rx=ry, o zaman r(xy)=0, o zaman r sıfırbölen olmadığından mecburen xy=0.

Halkanın elemanlarının bu eşleşmesi Sym(R)'de bir eleman, adını σ koydum. Halka sonlu olduğundan σn=1R. Demek ki soldan an ile çarpmak halkanın hiçbir elemanına hiçbir şey yapmıyor. Bu da tam olarak an soldan etkisiz eleman. Ama aynı şekilde a ile sağdan çarpmak da bir τSym(R), ve τm=1R. Demek ki am sağdan etkisiz eleman.

Halkanın (hatta yarıgrubun) hem soldan hem de sağdan etkisiz elemanları varsa birbirlerine eşit olmak zorundadır.

E hani 1R? Çelişki.

Not: Çelişki argümanını yapmazsanız aslında etkisiz elemanı olan halkalarda sıfırbölen olmayan her elemanın tersinir olduğu da yukarıdaki argümandan çıkar.

Aşağıda bir cevap varmış, kusura bakmayın tekrar oldu.




(258 puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,914 kullanıcı