Eğer $1 \notin R$ ise tersinir elemanlardan bahsedemeyiz. Yani soru anlamsız.
Eğer sonlu bir halkada $1$ elemani yoksa, o zaman tüm elemanlar sıfırbölendir. Sıfırbölen olmayan bir $r$ elemani alın, çelişki bulacağız.
Halkanın elemanlarını soldan $r$ ile çarpmak birebir (ve dolayısıyla örten) bir fonksiyon belirler: de ki $rx = ry$, o zaman $r(x - y) = 0$, o zaman $r$ sıfırbölen olmadığından mecburen $x -y = 0$.
Halkanın elemanlarının bu eşleşmesi $\operatorname{Sym}(R)$'de bir eleman, adını $\sigma$ koydum. Halka sonlu olduğundan $\sigma^n = \mathbb{1_R}$. Demek ki soldan $a^n$ ile çarpmak halkanın hiçbir elemanına hiçbir şey yapmıyor. Bu da tam olarak $a^n$ soldan etkisiz eleman. Ama aynı şekilde $a$ ile sağdan çarpmak da bir $\tau \in \operatorname{Sym}(R)$, ve $\tau^m = \mathbb{1}_R$. Demek ki $a^m$ sağdan etkisiz eleman.
Halkanın (hatta yarıgrubun) hem soldan hem de sağdan etkisiz elemanları varsa birbirlerine eşit olmak zorundadır.
E hani $1 \notin R$? Çelişki.
Not: Çelişki argümanını yapmazsanız aslında etkisiz elemanı olan halkalarda sıfırbölen olmayan her elemanın tersinir olduğu da yukarıdaki argümandan çıkar.
Aşağıda bir cevap varmış, kusura bakmayın tekrar oldu.