Eğer 1∉R ise tersinir elemanlardan bahsedemeyiz. Yani soru anlamsız.
Eğer sonlu bir halkada 1 elemani yoksa, o zaman tüm elemanlar sıfırbölendir. Sıfırbölen olmayan bir r elemani alın, çelişki bulacağız.
Halkanın elemanlarını soldan r ile çarpmak birebir (ve dolayısıyla örten) bir fonksiyon belirler: de ki rx=ry, o zaman r(x−y)=0, o zaman r sıfırbölen olmadığından mecburen x−y=0.
Halkanın elemanlarının bu eşleşmesi Sym(R)'de bir eleman, adını σ koydum. Halka sonlu olduğundan σn=1R. Demek ki soldan an ile çarpmak halkanın hiçbir elemanına hiçbir şey yapmıyor. Bu da tam olarak an soldan etkisiz eleman. Ama aynı şekilde a ile sağdan çarpmak da bir τ∈Sym(R), ve τm=1R. Demek ki am sağdan etkisiz eleman.
Halkanın (hatta yarıgrubun) hem soldan hem de sağdan etkisiz elemanları varsa birbirlerine eşit olmak zorundadır.
E hani 1∉R? Çelişki.
Not: Çelişki argümanını yapmazsanız aslında etkisiz elemanı olan halkalarda sıfırbölen olmayan her elemanın tersinir olduğu da yukarıdaki argümandan çıkar.
Aşağıda bir cevap varmış, kusura bakmayın tekrar oldu.