Sonlu halkalarin elemanlari

0 beğenilme 0 beğenilmeme
62 kez görüntülendi

$R$ sonlu bir halka ve $1 \in R$. Gosteriniz: $R$'nin tum elemanlari $R$'nin sifir boleni (zero divisor) ya da birim elemanidir (unit).

$R$ sonlu ve $1 \not \in R$ icin bilginiz varsa ve paylasirsaniz sevinirim.

16, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (22,513 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$a\in R$ sıfır bölen olmasın. $f:R\to R, \quad f(x)=x*a$ olsun. $a$ nın sıfır bölen olmayışından, $f$ 1-1 olur. $R$ sonlu olduğundan $f$ örtendir. Dolayısıyla $f(b)=b*a=1$ olacak şekilde bir $b\in R$ vardır. Sercan ın diğer probleminden (veya $g:R\to R,\quad g(x)=a*x$ dönüşümünü kullanarak) $b$, $a$ nın tersidir.

$R$ de birim eleman yoksa: 

$a$ sıfır bölen değilse, (aynı ispat ile) her $b\in R$ için $a*x=b$ ve $x*a=b$ denklemlerinin (tek) çözümü vardır.

16, Şubat, 2015 DoganDonmez (3,282 puan) tarafından  cevaplandı
19, Mart, 2015 Sercan tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Eğer $1 \notin R$ ise tersinir elemanlardan bahsedemeyiz. Yani soru anlamsız.

Eğer sonlu bir halkada $1$ elemani yoksa, o zaman tüm elemanlar sıfırbölendir. Sıfırbölen olmayan bir $r$ elemani alın, çelişki bulacağız.

Halkanın elemanlarını soldan $r$ ile çarpmak birebir (ve dolayısıyla örten) bir fonksiyon belirler: de ki $rx = ry$, o zaman $r(x - y) = 0$, o zaman $r$ sıfırbölen olmadığından mecburen $x -y = 0$.

Halkanın elemanlarının bu eşleşmesi $\operatorname{Sym}(R)$'de bir eleman, adını $\sigma$ koydum. Halka sonlu olduğundan $\sigma^n = \mathbb{1_R}$. Demek ki soldan $a^n$ ile çarpmak halkanın hiçbir elemanına hiçbir şey yapmıyor. Bu da tam olarak $a^n$ soldan etkisiz eleman. Ama aynı şekilde $a$ ile sağdan çarpmak da bir $\tau \in \operatorname{Sym}(R)$, ve $\tau^m = \mathbb{1}_R$. Demek ki $a^m$ sağdan etkisiz eleman.

Halkanın (hatta yarıgrubun) hem soldan hem de sağdan etkisiz elemanları varsa birbirlerine eşit olmak zorundadır.

E hani $1 \notin R$? Çelişki.

Not: Çelişki argümanını yapmazsanız aslında etkisiz elemanı olan halkalarda sıfırbölen olmayan her elemanın tersinir olduğu da yukarıdaki argümandan çıkar.

Aşağıda bir cevap varmış, kusura bakmayın tekrar oldu.




17, Şubat, 2015 E. Mehmet Kıral (253 puan) tarafından  cevaplandı
...