Aşağıdaki iki fonksiyonun neden aynı olmadıklarını açıklayın.

Question

$f(x) = $ $\sqrt{\frac{x+2}{x-4}}$ fonksiyonu ile $g(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-4}}$ fonksiyonu ayni fonksiyon mudur? 

Ayni fonksiyon degillerdir tabii ki, uzerinden bir nokta alip goruntulerinin farkli olmasiyla da gosterilebilir. Daha teorik bir cevap ariyorum.

Comments

pay ve payda negatif oldugunda da ilk fonksiyon tanimli olur. Fakat tanim araliklari verilmediginden net bir sey soyleyemeyiz. Ortak tanim araligi verilse esit olurlar. Fakat en genis tanim araliklari farkli. 

Answer 1

"Bu iki fonksiyon aynı mıdır?" şeklindeki sorunuzu "Bu iki fonksiyon eşit midir" sorusu ile aynı soru olduğunu varsayarak cevaplıyorum.

Gerçel değişkenli ve gerçel değerli fonksiyonlar ile çalışırken fonksiyonun her zaman tanım ve hedef (değer) kümesi belirtilmez. (Sorunuzdaki gibi) Fonksiyonun kuralı belliyse bu durumda o fonksiyon gerçel sayıların (mümkün olan) en geniş altkümesinden gerçel sayılara tanımlı olarak düşünülür. Bu durumda $$f(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-4}}$$ kuralı ile verilen $$f$$ fonksiyonunun tanım kümesini $$\mathcal{D}_f=\left\{x\Big{|}\frac{x+2}{x-4}\geq 0\wedge x-4\neq 0\right\}$$ ve benzer şekilde $$g(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-4}}$$ kuralı ile verilen $$g$$ fonksiyonunun tanım kümesini $$\mathcal{D}_g=\left\{x\Big{|}x+2\geq 0 \wedge x-4> 0\right\}$$ olarak alırız. Aşağıda yazılı eşit fonksiyon tanımını göz önünde bulundurduğumuzda $$\mathcal{D}_f\neq \mathcal{D}_g$$ olduğundan bu iki fonksiyon eşit değildir.

Tanım: $f:X\to Y$ ve $g:Z\to T$ iki fonksiyon olsun.

$$f=g:\Leftrightarrow (X=Z)(Y=T)(\forall x(f(x)=g(x))$$

$$f\neq g:\Leftrightarrow [X\neq Z \vee Y\neq T \vee \exists x(f(x)\neq g(x))]$$

Comments

Elinize sağlık Murad Hocam