Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
122 kez görüntülendi
Merhaba. Bergen Herstein ve Lanski'nin "Derivations with invertible values" adlı makalesine çalışıyorum.
Makalede takıldığım bir nokta var, sizlere onu sormak istedim.Teorem 1'den sonra konuyla ilgili bir örnek veriliyor makalede.(Syf:307)
$R=M_2(F)$ for $F=GF(2)(x)<<y> >$, the field of (finite) Laurent series with coefficients in the rational function field in one variable over $GF(2)$.
Buradaki $F$ cismini anlamlandıramıyorum. Yardımcı olabilir misiniz?
Akademik Matematik kategorisinde (43 puan) tarafından  | 122 kez görüntülendi
$GF(2)$ nedir, onu anlıyorsundur.

$GF(2)[x]$ halkasının elemanları katsayıları $GF(2)$'den olan polinom halkası.

$GF(2)(x)$ halkasının elemanları $q\neq 0$ olmak üzere ve $p,q \in GF(2)[x]$ olmak üzere $\dfrac pq$ şeklinde elemanlar.

$GF(2)(x)\langle \langle y \rangle \rangle$ halkasının elemanları da $u_{-m}, \ldots , u_{-1}, u_0, u_1,\ldots, u_n \in GF(2)(x)$ olmak üzere $u_{-m}y^{-m} + \ldots u_{-1} y^{-1} + u_0+u_1y+\ldots +u_ny^n$ şeklinde elemanlar.?
Peki hocam çok teşekkür ederim. İki sorum daha olacak.
Makalede şöyle diyor: Bir $a \in F$ alırsak, $a=a_E+a_0$ şeklinde yazabiliriz ve burada $a_E$, $a$'da görülen $y$'nin çift kuvvetlerinin sayısıdır ve $a_0=a-a_E$'dır. Yani anladığım kadarıyla $m,n$ çift olmak üzere;
$a_E=u_{-m}y^{-m}+...+u_{-2}y^{-2}+u_{0}+u_{2}y^{2}+...+u_{n}y^{n}$ olur. Yanlış mı düşünüyorum?
Bir de $GF(2)(x)\langle \langle y \rangle \rangle$ üzerinde tanımlı olan işlemler(çarpma ve toplama) nasıl tanımlı? Polinomlar halkasında tanımladığımız işlemler gibi mi?
1) Doğru düşünüyorsun.

2) Evet, tam olarak o.
Tamamdır hocam. Son birkaç sorum daha olacak. Makale şöyle ilerliyor:

1) $F=GF(2)(x)\langle \langle y \rangle \rangle$ olmak üzere, $\delta: F \mapsto F$, $\delta(f(x))=0$ ve $\delta(y)=xy$ ile tanımlı dönüşüm olsun. bir $a=a_E+a_0 \in F$ için $\delta(a)=xa_0$ olur. Burada son eşitliğin sebebini anlayamadım.

2) Ayrıca $\delta$'nın bir türev olduğundan bahsediyor. Toplamsallığı görmek kolay.
Ancak her $a,b \in F$ için $\delta(ab)=\delta(a)b+a\delta(b)$ eşitliğini nasıl görebiliyoruz?

3) Bir de $A= \begin{pmatrix}x & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_2(F)$ olmak üzere $d_A$, $A$ elemanı ile tanımlı iç türev ve $\delta'(\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix})=\begin{pmatrix}\delta(a) & \delta(b) \\ \delta(c) & \delta(t) \end{pmatrix}$ ile tanımlı olsun. $d=d_A+\delta'$ olsun. $\delta'$'nin $M_2(F)$'de bir türev olduğunu görebiliyorum.
Ancak $d(\begin{pmatrix}y & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} xy & 0 \\ 0 & xy \end{pmatrix}$ eşitliğini göremiyorum.($xy=yx$ ise doğrudan bir hesaplama ile çıkıyor. Ancak $xy=yx$ mi, emin olamadım.)

4) Son olarak $d(\begin{pmatrix}a & b \\ c & e \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} b+c+xa_0 &a+e+xb_E \\ a+e+xc_E & b+c+xe_0 \end{pmatrix}$ eşitliğini göremedim.

Ikincisinin sebebi: "Define a derivation b on F by extending the action" diyorlar. Dolayısıyla direkt $\delta$ bir türev zaten: $x$'in rasyonel fonksiyonlarını $0$'a, $y$'yi de $xy$'ye götüren bir türev. Ödev: böyle biricik bir türev vardır. (Bu şeye benziyor: bir vektör uzayı üzerinde bir lineer transformasyonu tanımlamak için baz elemanlarına ne yaptığına bakmak yeterli).

Üçüncüsünün sebebi: $xy=yx$ evet.

Ilkinin sebebi: ben yukarıda $GF(2)$ nedir anlıyorsun demiştim ama ben kendim anlamıyormuşum, dün gece ne zannettiysem :) Ama Google'ladım ve iki elemanlı cisim için kullanılan bir sembolmüş. Wikipedia öyle diyor. Zaten makalede verilen örnekten önceki paragrafa bakarsan "şimdi karakteristik 2'de ne olduğunu göreceğiz" tarzı bir şey söylüyor. 

$GF(2)$'nin karakteristiği ve dolayısıyla $F$'nin karakteristiği 2. Bu yüzden $\delta(y^2)=0$ oluyor. Dolayısıyla $y$'nin bütün çift kuvvetleri sıfıra gidiyor. Aynı zamanda $x$'in bütün rasyonel fonksiyonları (yani bir nevi "skalerler") da sıfıra gittiği için buradan kolaylıkla $\delta(a_Ç)=0$ olduğunu görebiliriz. Tekler için de $a_T$'yi $y$ parantezine alıp $a_T=yb$ şeklinde yazabiliriz. Burada $b$'nin içinde $y$'nin sadece çift kuvvetleri var. O halde $\delta(a_T)=\delta(y)b+y\delta(b)=xyb+0=xa_T$ oldu.

Sonuncusuna bakamadım.

Bu arada orijinal sorunun cevabını yanlış vermiş olabilirim. y'nin sadece negatif kuvvetleri sonlu galiba. Pozitif kuvvetler sonsuza kadar gidebilir. Yoksa nasıl cisim olduğunu anlayamadım. Mesela $(1-y)^{-1}$ ne?
Doğru olabilir hocam. Shafarevich'in Basic Notions of Algebra kitabında sayfa 16'da bir örnek var. Şöyle diyor:

Consider the set of all Laurent series $\sum_{n=-k}^{\infty}{a^nz^n}$ which are convergent in an annulus $0<\mid z \mid < R$. With the usual definition of operations on series, these form a field, the field of Laurent series.

Makalede de sonlu Laurent serilerinden bahsederken sadece negatif kuvvetlerin sonlu olmasından bahsediyor olabilir.
Kafam çok karıştı :)
y'nin negatif kuvvetlerinin sonlu olduğu durumda bir elemanın tersini nasıl bulabiliyoruz?
Daha genel sorayım. $F$'nin cisim olduğunu nasıl anlayabiliyoruz?
Makaleye çalışmaya devam ettikçe kafamdaki sorular giderek artıyor :)
$\delta$'nın $x$'in rasyonel fonksiyonlarını $0$'a, $y$'yi $xy$'ye götüren bir türev olduğunu söylüyoruz. Sonrasında böyle bir tane türev olduğunu söylemişsiniz. O türev ne acaba çıkarımda bulunamıyorum :)
$\delta(a)=\delta(a_Ç+a_T)=xa_T$ olarak tanımlamayı denedim. Bu dönüşüm toplamsal oluyor. Ancak $\delta(ab)=\delta(a)b+a\delta(b)$ şartını sağlatamıyorum.

"Böyle bir tane türev vardır" ya da "Böyle biricik bir türev vardır" derken "there exists a unique derivation" demek istemiştim.

Diyelim elinde bir cisim var, adı $C$ olsun. Tek değişkenli polinom halkasına da $R=C[x]$ diyelim. Bu durumda:

  • Eğer $d: R\to R$ bir türev ise,
  • Her $c\in C$ için $d(c)$ değerini biliyorsan,
  • Ve $d(x)$ değerini biliyorsan

Her $p\in R$ için $d(p)$'yi hesaplayabilirsin.

Mesela: $d(x^2)=d(x)x+xd(x)$. Aynı şekilde tümevarım ile her $n$ için $d(x^n)$'i hesaplayabilirsin.

Yani: $R$ üzerinde bir türev tanımlamak için iki yöntem var. Birincisi türev fonksiyonun kuralını açıkça vermek. Ikincisi türevin skalerlere ($C$'nin elemanlarına) ve $x$'e ne yaptığını söylemek.

Not: Bu lineer cebirden aşina olduğumuz bir olgu. Bir lineer fonksiyonu tanımlamak için iki yöntem var: birincisi fonksiyonun kuralını vermek, ikincisi fonksiyonun baz elemanlarına ne yaptığını anlatmak (yani fonksiyonu anlatan bir matris vermek).

Not2: Senin elinde tam olarak bir polinom halkası yok ama bu aynı mantık çalışıyor.

Not3: Değişmeli halkalarda çalışıyorsun şu an. Matris halkasına geçmeden. Dolayısıyla her $a$ için $d(a^2)= d(a)a+ad(a)=2d(a)$ oluyor. Bu sebeple hangi türevi alırsan al $d(y^2)=0$ olacak senin halkanda çünkü karakteristik 2'de çalışıyorsun. Bunun üstüne eğer $d$ skalerleri sıfıra götürüyorsa $d(a_Ç)=0$ olduğunu göstermek zor değil. Neden $d(a_T)=xa_T$ olduğunu da en son mesajımın sonunda açıkladım.

 

19,472 soru
21,197 cevap
71,211 yorum
28,795 kullanıcı