Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
277 kez görüntülendi

 H bir Hilbert uzay, $M \subset H$ konveks bir altküme ve $(x_n)$, M 'de,  $d = \inf_{x \in M}||x||$ olmak üzere,

$\Vert x_n \Vert \to d$ olacak şekilde bir dizi olsun.$(x_n)$  dizisinin, $H$ 'da yakınsak olduğunu gösteriniz. $\mathbb{R}^2$  ya da  $\mathbb{R}^3$ 'de şekilsel bir örnek veriniz. 


Ödev olarak verilen bu sorunun ispatına ulaşamadım.Yardımcı olursanız sevinirim.

Akademik Matematik kategorisinde (12 puan) tarafından  | 277 kez görüntülendi

Siz bu soruda ne düşündünüz / denediniz?

@bildiginessek,

$x_n$ M de olduğu söylenmiş. Diğer yazdıklarınıza tamamen katılıyorum(z).

''Ödev sorularının yanıtlarına internetten ulaşmaya değil, ödev sorularını çözmeye çalışmalısınız. Ödevin amacı internette en iyi aramayı yapan öğrenciyi bulmak değil, soruları çözmeye çalışmak suretiyle öğrencilerin anlıklarını genişletmek, becerilerini geliştirmek.'' demişsiniz ama sanırım beni yanlış anladınız.İspatına ulaşamadığımdan kastım internette bulamadığımı kastetmek değildi.Kendim soru hakkında fikir üretemedim buraya yazmamdaki amaç da fikri olan bir arkadaşın yardımcı olacağını düşünmekti.Sonrasında soruyu kendi çabalarımla ve araştırmalarımla çözümlemeye çalıştım.Teşekkürler gene de.Burada yargı dağıtılacağını değil yardımcı olunmaya çalışılacağını düşünmüştüm en başta :) 

Bu soru biraz zor. 

$x_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermeye çalışın.

Bu sıralarda sıkça hiç bir çaba göstermeden (çoğu rutin) sorular arasında , diğer sorulara verilecek tepki, senin soruna rastladı. Benim yazdıklarım senin soruna değil, daha  çok diğer sorulara idi.

Senin sorunun cevabının kolay olmadığını söylemiştim. Bu nedenle kategorisini (Akademik) değiştirmedim.

Daha önce de belirttiğim gibi  $(x_n)$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermeyi dene. Bu da basit değil. Bunu göstermek için için iç çarpım uzaylarındaki paralelkenar kuralını kullanmayı dene.

(örnek kısmı kolay)

Başkalarının hataları yüzünden gerçekten öğrenmek istediğim bir soru için bu kadar tepkili şekilde konuşmanız doğru değildi. 

Ben de zaten sizler yanıtlamadan önce  $(x_n)$ dizisinin Cauchy olduğunu paralelkenar kuralını kullanarak gösterdim.Teşekkürler gene de.

Bu soru için $(x_n)$ dizisinin Cauchy dizisi olduğunu göstermek yeterli olacaktır.Bunun için paralelkenar eşitliğinden faydalanılır.

$||x_n-x_m||^2=2||x_n||^2+2||x_m||^2-||x_n+x_m||^2$

$||x_n-x_m||^2\leq2||x_n||^2+2||x_m||^2-4d^2$

$||x_n-x_m||\rightarrow0, (n,m)\rightarrow\infty$

$(x_n)$ Cauchy olduğu görülür.

İlk satırda bir yazım hatası olmuş. son terimde kare unutulmuş (önemsiz)
($||x_n-x_m||^2=2||x_n||^2+2||x_m||^2-||x_n+x_m||^2$ olur)

İkinci satırdaki eşitsizliğin niçin doğru olduğunu açıklamak gerekiyor. 

 
(Burayı biraz sildim)


$-||x_n+x_m||^2\leq-4d^2$ nasıl elde edildi?

(İç çarpım uzaylarında başka bir özellik daha kullanmak gerekiyor)



Hocam düzelttim.Teşekkürler uyardığınız için.Ben şu şekilde düşündüm:

$M\subset H$ konveks bir küme olduğundan,$x_n,x_m \in M\rightarrow \frac{x_n+x_m}{2}\in M$.

Böylelikle, $d=inf||d||=inf||x_n+x_m|| \rightarrow ||\frac{x_n+x_m}{2}|\geq d$.Buradan,

$||x_n+x_m||^2 \geq4d^2$ elde edilir ve $-||x_n+x_m||^2\geq -4d^2$ olduğu görülür.

18,174 soru
20,699 cevap
66,710 yorum
18,863 kullanıcı