Türev sorusu bakar mısınız?

Question

f(a+b)=f(a) +f(b) +ab  ve f'(3)=7 olduğuna göre f'(1) kaçtır? 

Türevin limit tanımına benzetmeye çalıştım. 

f(a+b) - f(a) / b =f(b)/b +a 

Limit b sıfıra yaklaşırken 

f'(b)= lim(b-->0) f(b)/b +a oldu. 

Ama limiti tanımsız oluyor. 

f(b)'de sıfır olmalı deyip, tekrar l hopital yaptığımda 

f'(b) =f'(b) +a oldu.

Yapamadım. 

Comments

f'(b)= lim(b-->0) f(b)/b +a  doğru değil.

$f'(a)= \displaystyle\lim_{b\to0} \left(\frac{f(b)}b +a\right) $ olmaz mı?

---

Evet doğru f'(a) oluyor. 

Ve işte ben ordan sonrasını getiremedim. 

---

$f'(3)=7$ olduğu verilmiş. Bunu kullanarak:

$\displaystyle\lim_{b\to0} \frac{f(b)}b $ yı bulamaz mısın?

---

Orada yazdığınız f'(b)'ye eşit ve ben bunun yerine 7 yazabilirim sanırım. 

f'(a)=f'(b)+a => f'(a)=7+a

f'(1)=8 

Doğru mu düşündüm bilmiyorum ya da eksik? 

---

$\displaystyle\lim_{b\to0} \frac{f(b)}b$, $ f'(b)$ ye eşit değil.

(sembolik olarak) Başka bir şeye eşit, ama onu bilmek/kullanmak da gerekmiyor.

$\displaystyle\lim_{b\to0} \frac{f(b)}b$ değerini (sayı olarak) bulamaz mısın?

---

f(0)/0 tanımsız olmaması için f(0)'ın da sıfır olması gerektiğini düşündüm. 

Pay ve paydanın türevini  aldım. O yüzden f'(b) olduğunu düşündüm. b yerine sıfır yazmam da gerekiyordu sanırım.f'(0)'a mı eşit olabilir mi? 

Ya hocam iyice kafam karıştı ya.

Bilmece gibi oldu iyice, çözüm atabilir misiniz? Yoksa işin içinden çıkamayacağım gibi. 

---

Tekrar: 

O limitin (sembolik olarak) neye eşit olduğu önemli değil.

(Ama türevi biliyorsan, bu fonksiyon için, neye, sembolik olarak eşit olduğunu bulabilirsin.)

Elinde $f'(a)= \displaystyle\lim_{b\to0} \left(\frac{f(b)}b +a\right)$ eşitliği var.

O eşitlik HER $a$ için doğru.

Önce, uygun bir $a$ seçip, o limitin değerini bulabilirsin.

---

Aaaa ben çok saçma düşündüm sanırım. 

f'(3)'ü biliyorum.

f'(3)=lim(b-->0) f(b)/b + 3 =7

Burdan lim(b-->0)f(b)/b kısmının 4 olduğunu söyleyebilirim sanırım. 

Şimdi de şu şekilde yazabilirim. 

f'(a)=4+a

f'(1)=5

---

Şimdi güzel bir çözüm oldu!

---

Ek soru: Bu fonksiyonun formülünü bulabilir misin?

---

f(0)'ın sıfır olduğunu düşünebilir miyiz?

f'(a)=a+4

integral alsam 

f(a)=a^2/2+4a+c 

f(0)=0 => f(a)=a^2/2+4a 

---

Güzel. Bu çözümü cevap olarak yazarsan hem soru çözülmüş olur hem de puan kazanırsın.

Answer 1

$\frac{f(a+b) - f(a) } b =\frac{f(b)}b +a $

Limit b sıfıra yaklaşırken 

$f'(a)= \lim_{b\to0}\left(\frac{ f(b)}b +a\right)$ oldu.

$f'(3)=\displaystyle\lim_{b\to0} \left(\frac{f(b)}b + 3\right) =7$

Burdan  $\lim_{b\to0} \frac{f(b)}{b}$  kısmının 4 olduğunu söyleyebilirim sanırım. 

Şimdi de şu şekilde yazabilirim. 

$f'(a)=4+a$

$f'(1)=5$

f(0)=0 (a=b=0 alınırsa, verilen eşitlikten, f(0)=0 bulunur)

$f'(a)=a+4$

integral alsam 

$f(a)=\frac{a^2}2+4a+c $

$f(0)=0 \Rightarrow f(a)=\frac{a^2}2+4a $