Harmonik serinin kısmi toplamı için bir üst sınır [kapalı]

Question

Yeterince büyük $n$  doğal sayıları için $$\sum_ {k= 1}^n 1/k\le\sqrt{n}$$  olduğunu gösteriniz.İlgili soru

Comments

Düzeltme : Ben görmedim, zaten küçük sayılarda doğru olmadığı belirtilmiş

(Bu eşitsizlik $n=2,3,4,5,6$ için yanlış. )

$n\geq7$ için doğru oluyor. 

İpucu: tümevarımla gösterilebilir.

---

Anıl buradaki linke söz konusu eşitsizliğin bir kanıtını eklemiş. 

Answer 1

Guzel bir cozum olmayabilir ama..

$$\sum_ {k= 1}^n \frac{1}{k}\leq\int_1^n\frac{2}{x}dx=2\ln(n)\leq\sqrt{n}$$

son esitsizlik icin

$$2\ln(n)\leq\sqrt{n}$$

$$\ln(n^2)\leq\sqrt{n}$$

$$n^2\leq e^\sqrt{n}, \qquad n>80\quad icin$$