Düzgün Sekizgen

Question

ABCDEFGH düzgün sekizgeninde P noktası [GC]'nin bir elemanıdır.

Verilenlere göre taralı alanın ABCDEFGH çokgenine oranı nedir?

AP'yi birleştirip A'yı ve B'yi uzatıp APH üçgenin alanını ve alanın 2 katı ile taralı bölgenn alanını bulmayı denedim.Ama tüm alanı aynı bilinmeyenle yazamadım.

Answer 1

Taralı alan, $P$ noktası $P\in[CG]$ olmak üzere $[CG]$'nin neresinde bulunduğundan bağımsızdır. Bu sebeple $P$ noktasını çokgenin merkezinde alırsak $A(BPHA)=A(PGH)+A(PBC)=2s$ olur.

Dolayısıyla $\frac{\text{taralı alan}}{A(ABCDEFG)}=\frac{2s}{8s}=\frac 14$ dir.

Comments

Ek: Bagimsiz olmasinin (bir sebebi) $BH$'in $CG$'ye paralel olmasi. Bu nedenle merkeze kaydirabiliriz.

Answer 2

$\vert AP\vert \text{' yi çizdiğimizde } A(APH)=A\text{ ve } A(APB)=B \text{ dersek;}$

$\text{Taralı Alan}=A+B$   $\text{ olacaktır.}$

$A(HPG)=A(APH)=A$  $\text{ve}$  $A(APB)=A(BPC)=B$  $\text{olduğu şekilden rahatlıkla görünmektedir.}$

$\text{O halde, } A(CBAHG)=2A+2B$   $\text{olur.}$

$$[GC] \text{ sekizgeni iki eş parçaya ayırdığından }  A(CBAHG) \text{ sekizgenin alanın yarısıdır.}$$

$\Rightarrow A(ABCDEFGH)= 2.A(CBAHG)=2.(2A+2B)=4(A+B)$

$$\frac{A(ABPH)}{A(ABCDEFGH)}= \frac{Taralı Alan}{A(ABCDEFGH)}=\frac{A+B}{4.(A+B)}=\frac{1}{4}$$