Bir kuadratik form, eksilisine denk midir?

Question

Kuadratik form $$Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2$$ şeklinde bir polinomdur. Buradaki katsayıların tamsayı olduğunu varsayalım ve $X,Y$ değerlerini sadece tamsayı olarak alalım. 

$Q$ ve $Q'$ iki kuadratik form olmak üzere, şöyle bir bağıntı tanımlayalım. $$Q\sim Q' \Leftrightarrow \exists \begin{pmatrix} k & l \\ m & n\end{pmatrix}\in \text{SL}_2(\mathbb{Z}), Q(X,Y)=Q'(kX+lY,mX+nY)$$ Kolayca gösterilebilir ki bu bir denklik bağıntısı. 

Benim sorumsa şu, bir $Q$ kuadratik formu, $-Q$ kuadratik formuna denk midir?

Daha genel manada bir $Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2$ kuadratik formu hangi kuadratik formlara denktir?

Comments

Hangi durumlarda olup olmayacağını mı istiyorsun hocam yoksa bir adet ters örnek yeter mi? Her zaman doğru değil. Örnegin: $x^2$.

Ayrıca $2$'nin tersinin olması ikinci dereceden formlarda kolaylık sağlar ama bu soru için buna sahip değiliz.

---

Aslında sonucun böyle çıkmamasını bekliyordum. Çok soyut düşünmekten temel örneklerde zayıf kalabiliyor insan. O zaman soruyu biraz daha düzenleyerek daha anlamlı kılayım.