Bir kuadratik form, eksilisine denk midir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
167 kez görüntülendi

Kuadratik form $$Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2$$şeklinde bir polinomdur. Buradaki katsayıların tamsayı olduğunu varsayalım ve $X,Y$ değerlerini sadece tamsayı olarak alalım. 

$Q$ ve $Q'$ iki kuadratik form olmak üzere, şöyle bir bağıntı tanımlayalım. $$Q\sim Q' \Leftrightarrow \exists \begin{pmatrix} k & l \\ m & n\end{pmatrix}\in \text{SL}_2(\mathbb{Z}), Q(X,Y)=Q'(kX+lY,mX+nY)$$Kolayca gösterilebilir ki bu bir denklik bağıntısı. 

Benim sorumsa şu, bir $Q$ kuadratik formu, $-Q$ kuadratik formuna denk midir?

Daha genel manada bir $Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2$ kuadratik formu hangi kuadratik formlara denktir?

4, Mayıs, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu
6, Mayıs, 2015 Enis tarafından düzenlendi

Hangi durumlarda olup olmayacağını mı istiyorsun hocam yoksa bir adet ters örnek yeter mi? Her zaman doğru değil. Örnegin: $x^2$.

Ayrıca $2$'nin tersinin olması ikinci dereceden formlarda kolaylık sağlar ama bu soru için buna sahip değiliz.

Aslında sonucun böyle çıkmamasını bekliyordum. Çok soyut düşünmekten temel örneklerde zayıf kalabiliyor insan. O zaman soruyu biraz daha düzenleyerek daha anlamlı kılayım.

...