Sürekli ve periyodik bir fonksiyonun Temel (en küçük pozitif) periyodunun varlığı

3 beğenilme 0 beğenilmeme
99 kez görüntülendi

Periyodik bir fonksiyonun periyotları arasında en küçük olanı var olmayabilir. (periyodun pozitif olması koşulu varsayımı ile)

(Örnek: $f(x)=\begin{cases}1,\quad x\in\mathbb{Q}\textrm{ ise}\\0,\quad x\notin\mathbb{Q}\textrm{ ise}\end{cases}$ fonksiyonu için her pozitif rasyonel sayı bir periyot olur. En küçük periyot yoktur.)

 Ama $f(x)$, sabit olmayanperiyodik ve ($\mathbb{R}$ de) sürekli ise en küçük (pozitif) bir periyodunun var olduğunu gösterin.

26, Eylül, 2016 Lisans Matematik kategorisinde DoganDonmez (3,534 puan) tarafından  soruldu
26, Eylül, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Sabit fonksiyonlar surekli, periyodik ama en kucuk periyodu yok. 

Ek: iIlgili soru

Haklısın Sercan. Sabit olmama koşulunu da ekledim.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
$f$ sürekli, periyodik ve en küçük periyodu olmayan bir fonksiyon olsun. Amacımız $f$'nin sabit olduğunu göstermek. $f$ için bir $p$ periyodu alalım ve $g(x)=f(px)$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $g$ sürekli, periyodik, $1$ sayısı periyodu olan ve en küçük periyodu olmayan bir fonksiyon olacaktır.

$g$'nin en küçük periyodu olmadığına göre $g$'nin periyotlarından oluşan öyle bir $(q_n)$ dizisi bulabiliriz ki $q_n \rightarrow 0$ olur. (Bunun nedeni için yorumlara bakınız.) Şimdi bir $x \in [0,1]$ alalım. Öyle $a_n$ doğal sayıları bulabiliriz ki $a_0 q_0 + a_1 q_1 + a_2 q_2 + ...$ toplamı $x$'e yakınsar. Ancak $g$'nin bu serinin kısmı toplamlarındaki değerleri, $q_n$'ler periyot oldukları için, sabittir. Bunun sonucunda, $g$ sürekli olduğu için, her noktadaki değeri $0$ noktasındaki değerine eşittir ve sabittir. Dolayısıyla $f$ de sabittir.
26, Eylül, 2016 Burak (1,254 puan) tarafından  cevaplandı
26, Eylül, 2016 Burak tarafından düzenlendi

Neden $q_n \to 0$ olmali? Mesela $q_n \to 1/2$ olur ve $g(x+1/2)=g(x)$ olmazsa bu durumda da en kucuk periyod olmaz.

Eğer $q_n \rightarrow k \neq 0$ ise $g(x+q_n)=g(x)$ ve $g$ sürekli olduğundan dolayı $g(x)=lim\ g(x+q_n)=g(lim\ x+q_n)=g(x+k)$ olur ve dolayısıyla $k$ da bir periyot olur. Dolayısıyla en küçük periyot yoksa periyotların infimumu sıfır olmalıdır. Tabii periyot derken sadece pozitif periyotları kastediyorum.

Biraz daha iyisi de yapılabilir.

Aslında, fonksiyon süreksiz bile olsa periyotlarının infimumu pozitif ise o da  periyot oluyor.

İspat:

$T,\ f$ nin (pozitif) periyotlarının infimumu,  $T>0$ ve $T$ periyot olmasın.

$f$ nin $2T$ den küçük bir $t_1$ periyodu vardır. $T<t_1<2T$ olur.

$f$ nin  $t_1$ den de küçük bir $t_2$ periyodu vardır.

 $t_1-t_2<T$ ve $t_1-t_2$ de $f$ nin periyodu olur. Çelişki.

($f$ periyotları, onların (toplamaya göre) tersleri ve 0, $\mathbb{R}$ nin bir alt grubunu oluşturur.

$\mathbb{R}$ nin bir alt grubu, ya ayrıktır ya da $\mathbb{R}$ de yoğundur.)

Evet, bu kanıt daha hoş oldu. Yorumlara +1 veremediğimiz için yorum yazarak +1'leyim.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir çözüm daha:

En küçük pozitif periyot yoksa çelişki bulalım.

$a,b\in\mathbb{R},\ f(a)\neq f(b)$ olacak şekilde alalım.

$0<\varepsilon<|f(a)-f(b)|$ olacak şekilde seçelim. $f,\ a$ da sürekli olduğu için

$|x-a|<\delta$ olduğunda $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

olacak şekilde pozitif bir $\delta$ gerçel sayısı vardır.

$f$ nin $0<t<2\delta$ olacak şekilde bir $t$ periyodunu alalım.

 ($(a-\delta,a+\delta)$ aralığının uzunluğu $t$ den daha büyük olduğu için)

$a-\delta<b+nt<a+\delta$ (yani $|(b+nt)-a|<\delta$) olacak şekilde bir $n\in\mathbb{Z}$ vardır.

Öyleyse ($\delta$ seçiminden) $|f(b+nt)-f(a)|<\varepsilon$  olmalıdır.

Ama ($t$ nin bir periyot oluşundan ve $\varepsilon$ sayısının seçiminden)

 $|f(b+nt)-f(a)|=|f(b)-f(a)|>\varepsilon$ dır. 

Çelişki.

(Burada, aslında, $f$ nin, HER aralıkta, hem $f(a)$ hem de $f(b)$ değerini alması gerektiğini (yaptıklarımız azıcık daha ileri götürerek) gösterebiliyoruz. Bu da süreklilik ile çelişiyor.)

(Buradan, $f$ nin tek bir noktada sürekli olmasının yeterli olduğunu da görüyoruz)


26, Eylül, 2016 DoganDonmez (3,534 puan) tarafından  cevaplandı
27, Eylül, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Yazdıktan sonra farkettim:

Ben de, Burak da sorulan soruyu eksiksiz çözmedik (ama asıl ilginç kısmını çözdük).

Periyotların infimumu (en büyük alt sınırı) 0 değilse, o infimumun da bir periyot olduğunu (dolayısıyla en küçük pozitif periyot var olur) göstermemiz gerekirdi. Bunun ispatı biraz daha kolay.

Hocam, benim gönderdiğim cevabın yorumlar kısmında Sercan bu itirazı yaptığı için, cevabın yorum kısmına ekledim onun nedenini.

...