Kategori Teorisi nelerle ugrasir? Calismak icin gerekli onkosullar nelerdir?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
1,205 kez görüntülendi

Gecenlerde okudugum bir kitapta gunumuz matematiginde Kumelerden Kategorilere bir paradigma kaymasi yasandigi soyleniyordu. Ne kadar dogru bilmiyorum.


Peki Kategori Teorisi nelerle ugrasir? Hangi tarz sorulara cevap arar? Hangi ihtiyaclardan ortaya cikmistir?

Ayrica Kategori Teorisi calismak isteyen birinin hangi konulara hakim olmasi gerekir? 

12, Eylül, 2016 Akademik Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (680 puan) tarafından  soruldu

http://matkafasi.com/14922/kategori-teori-neyi-amaclar

Ben de cevap bekliyorum ama 14 ay olmus sorali..

Desenize fazla umutlanmayayim Sercan Hocam :) 
Sorularin akibeti de basliklari gibi ayni olmaz umarim.

Burada yararlı olabilecek birşeyler var sanırım;

http://math.stackexchange.com/questions/724302/what-is-category-theory

2hafta once matköyünde vardı programı , keşke katılsaydın, ama çok ağır ve topolojiden tut lineer cebire kadar çoğu şeyi bilmeye dayanıyor.

Hepsinin kategorisi vardir elbet de, mantigi onemli degil mi? Kumeler kategorisini anlamamiz zor olmasa gerek. Anladiktan sonra, digerlerine uygulayabilmemiz icin diger konularin en azindan temellerini bilmemiz sart. 

@mathman tesekkurler

Evet Anil gordum gelmek istedim de Italya dayim bu aralar, gelemedim koye. Hoca hala oralardaysa sorabilir misin?  Sercan hocamin da dedigi gibi her kounyu baslangic seviyesinde bilmek gereklidir zaten sanirim, cunku yapilarin kategorisiyle ilgileniyoruz. Ama bazi konulari daha derinlemesine de bilmemiz gerekiyordur diye dusunuyorum. En azindan oturup kitap acmadan calisabilmek icin ne gereklidir?

Ozgur Abla bence biliyor. O bize bir-iki taktik verebilir.

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/maclanecat.pdf 

https://www.mpi-sws.org/~dreyer/courses/catlogic/awodey.pdf

Boyle iki link buldum, Mac Lane kategori Teorisinin kurucularindandi sanirim.

Icindekilerden anladigim kadariyla en azindan; 

1) Soyut cebir(ozellikle grup teori), 

2) Analiz, 

3) Lineer cebir(modul teorisi dahil), 

4) Kumeler kurami ve 

5) Topoloji(ve belki biraz cebirsel topoloji) konularina "advanced" duzeyde hakim olmak gerekiyor. Baska seyler de illa ki gerekiyordur. 

Kategori teori yapmak icin kategori teori yapmak yavan bir ugras. Dolayisiyla "hangi ihtiyaclardan dolayi ortaya cikmistir" daha yerinde bir soru.

"Category theory is the mathematical expression of the idea of representation (or transformation). We have a class of objects (or spaces) and transformations f of an object X into an object Y, with the possibility of composing these transformations. The idea of the category theory is to consider only spaces and transformations rather than points."

(Burada sayfa 398'in sonunda.)

Kategori teori yararli bir sey. Cunku sana birbirinden alakasiz gibi gozuken seyler arasinda bir denklik sunuyor. Yukaridaki paragrafta gecen objeleri birer nokta ile gosterecek olursan ve aralarindaki iliskileri (fonksiyonlari) oklarla gosterecek olursan aslinda bir kategori sadece bu noktalar ve aralarindaki oklar demek. Bir de bu oklari ucuca ekleyince ne oldugu bilgisi lazim. Yani aslinda basit bir sekilde bir yonlu cizgeyle ilgileniyorsun. Eger kategorin yeteri kadar zenginse, mesela direkt toplamlar varsa, sifir objesi varsa falan filan, bu yonlu cizgeyi cok daha kucuk bir hale getirebiliyorsun aslinda. Ve bu cizge senin kategorini temsil ediyor. Peki paragrafin basinda soyledigim "yarar" nereden geliyor? Diyelim ki senin elinde armutlar var, benim elimde de elmalar. Ben benim armutlarim arasindaki iliskileri biliyorum, sen senin armutlarin arasindaki iliskileri biliyorsun. Ikimiz bir araya gelip meyvelerimiz ve aralarindaki iliskilerden bahsediyoruz. Farkediyoruz ki: senin "benim armutlarim soyle soyle seyler yapiyorlar" dedigin neredeyse her sey icin ben de "aa valla aynisi benim elmalarim da da oluyor" diyorum. Sonra is suna donusuyor: Ne zaman benim elmalarla ilgili bir sorum olsa seni ariyorum ve "kanka senin armutlarda bu oluyor mu?" diyorum. Sen "aynen, cevabi da su" diyorsun. Ben de diyorum ki "tamam o zaman, bende de cevap buna benzer olmali".

Ornegin armutlar: Yerel tikiz Hausdorff uzaylar, elmalar: degismeli $\mathbb{C}^*$-cebirleri. 

Ornegin armutlar: Simpleksler elmalar: chain complexler.

Ornegin armutlar: Afin bir uzay (Spec R) uzerinde balyalar (sheaf), elmalar: R - moduller.

Simdi bir geometrici, geometrik problemlerini bir cebirciyi arayip sorabilir. Bir cebirci, cebirsel problemlerini bir geometriciyi arayip sorabilir. 

Calismak icin cok bir sey bilmene gercekten gerek yok. Sadece noktalar ve aralarinda oklar var sonucta. Ornek istiyorsan, gruplari, hatta semi-gruplari bilmen yeterli. Cunku her grup aslinda bir kategori olarak gorulebilir (tek obje, her ok kendisinden cikip kendisine gidiyor, ve bu oklarin tersi de var). Bir sekilde kullanmaya gelince sira, nerede kullanacagina gore ne kadar bilmen gerektigi de degisir herhalde.

Hatırladığım kadariyla;

*Soyut cebir(ozellikle grup teori), 

*Analiz, 

*Lineer cebir(modul teorisi dahil), 

* Kumeler kurami

Uygulamalı Kategori Teorisi dersleri. 30 Ocak kayıt olmak için son gün. Ücretsizmiş dersler.

yorum denemesi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

     Kategorileştirme 

    Günümüzde kümelerden kategorilere bir paradigma geçişi yaşandığı doğru, hatta son 20 yılda bu yönde önemli adımlar atmış 'Categorification' adında bir program var. Küme tabanlı teorileri, kategori tabanlı teorilere genişletmek istiyor.

     Kümeler vs. Kategoriler 

     Kısaca işin özü şöyle: Kümeler sadece elemanları tarafından belirlenir. Bir küme hakkında söyleyecek bir şey yok. O elemanların isimlerinin ne olduğu da önemli değil. İki küme arasında birebir ve örten bir fonksiyon yazabiliyorsak bu kümeleri den(izomorf, eşyapılı) kabul ederiz. Yani kümeler özünde, sadece kardinaliteleri ile belirlenirler. 

      Oysa insanların dünyayı anlama şekli 'etrafımızdaki nesneler ve onların arasındaki ilişkiler' şeklindedir. Bir küme, elemanları arasındaki ilişkiler hakkında bir şey söylemez. Kategorilerin tanımına bakarsanız, kategorilerin hem nesneleri vardır, hem de bu nesnelerin arasındaki ilişkileri içerir. Yani bizim dünya anlayışımızı daha iyi formalize ederler. 

    Kategorilerin birleştirici gücü   

    Buna ek olarak kategori teorisi, günümüzdeki matematiğin pek çok alanı için tek bir çerçeve, tek bir dil sunar. Örneğin grup teorisi, grupları ve aralarındaki grup homomorfizmalarını inceler. Topoloji, topolojik uzayları ve aralarındaki homeomorfizmaları(topolojiyi koruyan dönüşümleri) inceler. Lineer cebir, vektör uzayları ve aralarındaki lineer dönüşümleri(vektör uzayı yapısını koruyan dönüşümler) inceler. Kümeler kuramı, kümeleri ve aralarındaki (genellikle) fonksiyonları inceler. Yani matematiğin bütün bu alanları, spesifik birer kategorinin incelenmesidir. 

     Kategoriler nasıl ortaya çıkmıştır?

     Elinberg ve MacLane, kategori kavramını cebirsel topoloji yapmaya çalışırken, doğal dönüşümleri ifade etmek icat etmişlerdir. Bugün de kategori teorisinin çoğu motivasyonu cebirsel topolojiden gelir. Cebirsel topoloji, aslında Topolojik uzaylar kategorisinden örneğin Gruplar kategorisine yazılan funktörleri incelemektir.

     Kategori teorisi çalışmak için ne bilmek gerekir?

     Aslında kümeler kuramı için nasıl pek bir ön bilgi gerekmiyorsa, kategori kuramı için de çok ön bilgiye ihtiyaç yoktur. Ancak bir matematiksel olgunluk gerektirir. Modern matematiğin nasıl bir şey olduğunu görmemiş birisi için tanımlar çok havada kalır. Ve modern matematiğin ne kadar çok alanını biliyorsanız, elinizde o kadar geniş bir örnek yelpazesi olur. Kategorik teoremlerin, daha iyi bildiğiniz kategorilerdeki karşılıklarını bilmek size daha derin bir anlayış kazandıracaktır.

4, Ocak, 4 canozan (40 puan) tarafından  cevaplandı
...