Boş kümede sup ve inf tanımlı mıdır?

Question

Boş kümenin sup ve infi nedir ?

sup için $-\infty$      inf için. $\infty$   tanımlamak mantıklı olmaz mı?

Answer 1

$$(\mathbb{R},\leq )$$ posetinde boş kümenin infimumunu ve supremumunu araştıralım.

$$\sup\emptyset =\min \emptyset^ü=\min \{y|x\in \emptyset\Rightarrow x\leq y\}=\min\mathbb{R}:yok$$

$$\inf\emptyset =\min \emptyset^a=\max \{y|x\in \emptyset\Rightarrow y\leq x\}=\max\mathbb{R}:yok$$

Not: Genişletilmiş $\mathbb{R}$'de çalışıyorsan (sıralama ile ilgili bazı varsayımları da birlikte düşünürsek) 

$$\sup\emptyset =\min \emptyset^ü=\min \{y|x\in \emptyset\Rightarrow x\leq y\}=\min\overline{\mathbb{R}}=-\infty$$

$$\inf\emptyset =\min \emptyset^a=\max \{y|x\in \emptyset\Rightarrow y\leq x\}=\max\overline{\mathbb{R}}=\infty$$ olacaktır.

Comments

Yanlış hatırlamıyorsam George Simmons'un Introduction to Topology and Modern Analysis kitabında da boş kümenin supremumu $-\infty$ olarak ele alınıyor.

---

genişletilmiş $R$   ve   max min tanımlarken yaptıgınız $\emptyset^{û}$  ne demek tam olarak?

İlginiz için teşekkürler.

---

Boş kümenin üst sınırlarının oluşturduğu kümeyi $$\emptyset^ü$$ ve boş kümenin alt sınırlarının oluşturduğu kümeyi $$\emptyset^a$$ ile gösterdim.

---

Boşküme supremuma sahip değildir (Ghorpade-Limaye, A couse in Calculus and Real Analysis, s.5).