Sup ve inf ile ilgili bir özdeşlik.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
85 kez görüntülendi

$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ kümesi alttan sınırlı olmak üzere

$$\inf A=-\sup(-A)$$

olduğunu ispatlayınız.

1, Eylül, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,700 puan) tarafından  soruldu
19, Mart, 2017 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

$A$ kümesi alttan sınırlı olmalı.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Teorem: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ kümesi alttan sınırlı olmak üzere 

$$\inf A=-\sup(-A).$$

İspat: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ kümesi alttan sınırlı $($yani $A^a\neq\emptyset)$ olsun. Aksi takdirde $A$ kümesinin infimumu olmaz.

$-------------------------------$

$$(\forall a\in A)(\inf A\leq a)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall a\in A)(-a \leq -\inf A)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall (-a)\in (-A))(-a \leq -\inf A)$$

$$\Rightarrow$$

$$-\inf A\in (-A)^ü$$

$$\Rightarrow$$

$$\sup(-A)\leq -\inf A$$

$$\Rightarrow$$

$$\inf A\leq -\sup(-A)\ldots (1)$$

$-------------------------------$

$$A^a\neq\emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$(-A)^ü\neq\emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$\sup(-A)\in\mathbb{R}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall (-a)\in (-A))(-a \leq \sup(-A))$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall a\in A)(-\sup(-A)\leq a)$$

$$\Rightarrow$$

$$-\sup(-A)\in A^a$$

$$\Rightarrow$$

$$-\sup(-A)\leq \inf A\ldots (2)$$

$-------------------------------$

$$(1),(2)\Rightarrow \inf A=-\sup(-A).$$

2, Eylül, 2016 murad.ozkoc (8,849 puan) tarafından  cevaplandı
2, Eylül, 2016 Anil tarafından seçilmiş

Anıl soru, senin sorduğun gibi kalmasın. Müsait olduğun bir ara düzenlersen iyi olur.

$A$ kümesi alttan sınırlı olmalı. Hala düzeltmemişsin.

...